Suponha que o tempo, em meses, para a recuperação de pacientes submetidos a um certo tipo de cirurgia do aparelho digestivo pode ser modelado por uma variável aleatória contínua X, cuja f.d.p. é dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{3} & , 0 \leq x \leq 1 \\\\ -\frac{1}{12} x+\frac{5}{12} & , 1<x \leq 5 \\\\ 0 & , \text { c.c. } \end{array}\right.
Calcule a variância.

Passo 1

O enunciado diz que X\) é uma v.a. contínua com f.d.p. \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{3}, & 0 \le x \le 1,\\[6pt] -\dfrac{1}{12}x+\dfrac{5}{12}, & 1 < x \le 5,\\[4pt] 0, & \text{c.c.} \end{cases}
Queremos \mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\]. Para isso, vamos calcular primeiro \(E(X) e depois E(X^2) decompondo as integrais em [0,1] e [1,5].]

Passo 2

Calcular E(X):
E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot\dfrac{1}{3}\,dx \;+\;\int_{1}^{5}x\biggl(-\dfrac{1}{12}x+\dfrac{5}{12}\biggr)\,dx.
Na primeira integral
\int_{0}^{1}x\cdot\dfrac{1}{3}\,dx =\dfrac{1}{3}\,\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{6}.
Na segunda integral, o integrando é -\tfrac{1}{12}x^{2}+\tfrac{5}{12}x. Temos
\int\Bigl(-\tfrac{1}{12}x^{2}+\tfrac{5}{12}x\Bigr)\,dx =-\tfrac{1}{12}\,\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{5}{12}\,\tfrac{x^{2}}{2} =-\tfrac{x^{3}}{36}+\tfrac{5x^{2}}{24},
avaliando de 1 a 5:
\Bigl[-\tfrac{x^{3}}{36}+\tfrac{5x^{2}}{24}\Bigr]_{1}^{5} =\Bigl(-\tfrac{125}{36}+\tfrac{125}{24}\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{1}{36}+\tfrac{5}{24}\Bigr) =\tfrac{14}{9}.
Logo
E(X)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{14}{9}=\dfrac{31}{18}\approx1,7222.

Passo 3

Calcular E(X^{2}):
E(X^{2}) =\int_{0}^{1}x^{2}\cdot\dfrac{1}{3}\,dx +\int_{1}^{5}x^{2}\bigl(-\tfrac{1}{12}x+\tfrac{5}{12}\bigr)\,dx.
Na primeira parte
\int_{0}^{1}x^{2}\cdot\tfrac{1}{3}\,dx =\tfrac{1}{3}\,\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{9}.
Na segunda parte o integrando é -\tfrac{1}{12}x^{3}+\tfrac{5}{12}x^{2}, cuja primitiva é
-\tfrac{x^{4}}{48}+\tfrac{5x^{3}}{36}.
Avaliando de 1 a 5:
\Bigl[-\tfrac{x^{4}}{48}+\tfrac{5x^{3}}{36}\Bigr]_{1}^{5} =\Bigl(-\tfrac{625}{48}+\tfrac{625}{36}\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{1}{48}+\tfrac{5}{36}\Bigr) =\tfrac{38}{9}.
Portanto
E(X^{2}) =\tfrac{1}{9}+\tfrac{38}{9} =\tfrac{39}{9} =\tfrac{13}{3}\approx4,3333.

Passo 4

Finalmente,
\mathrm{Var}(X) =E(X^{2})-\bigl[E(X)\bigr]^{2} =\dfrac{13}{3}-\Bigl(\dfrac{31}{18}\Bigr)^{2} =\dfrac{443}{324}\approx1,36698.

Resposta

A variância é \displaystyle \mathrm{Var}(X)=\frac{443}{324}\approx1,36698.

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