Uma v.a.c. possui a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} k & , \text { para } 0 \leq x<1 \\\ k(2-x) & , \text { para } 1 \leq x<2 \\\\ 0 & , \text { caso contrário } \end{array}\right.á
a) Determine a constante k para que f(x) seja uma f.d.p; R: 2 / 3
b) Calcule P(X=1); R: 0
c) Calcule P\left(\frac{1}{2} \leq X \leq 1\right); \mathrm{R}: 1 / 3
d) Calcule P(X>2); R:0
e) Calcule P\left(\frac{1}{2} \leq X<\frac{3}{2}\right); R: 7/12

Passo 1

O enunciado define uma v.a.c. X\) com densidade \[f(x)= \begin{cases} k, &0\le x<1,\\\ k(2-x),&1\le x<2,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}
O conteúdo aqui é variáveis contínuas, e precisamos usar a condição de normalização
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1
para achar k\] e depois calcular probabilidades via integrais de \(f(x).

Passo 2

Para achar k impomos
\int_{0}^{1}k\,dx+\int_{1}^{2}k(2-x)\,dx=1.
Na primeira integral
\int_{0}^{1}k\,dx = k\bigl[x\bigr]_{0}^{1} = k.
Na segunda, note que
\int_{1}^{2}k(2-x)\,dx = k\int_{1}^{2}(2-x)\,dx = k\bigl[2x - \tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{1}^{2} = k\bigl[(4 - 2) - (2 - \tfrac12)\bigr] = k\cdot\tfrac12.
Somando,
k + \tfrac12\,k = \tfrac32\,k = 1 \quad\Longrightarrow\quad k = \tfrac{2}{3}.

Passo 3

Como X é contínua, a probabilidade num ponto isolado vale zero. Logo
P(X=1)=0.

Passo 4

Para \displaystyle P\bigl(\tfrac12 \le X \le 1\bigr) usamos
\int_{\tfrac12}^{1}k\,dx = k\bigl[x\bigr]_{\tfrac12}^{1} = k\cdot\tfrac12 = \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac12 = \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Para \displaystyle P(X>2) notamos que f(x)=0 para x\ge2. Então
P(X>2) =\int_{2}^{\infty}0\,dx =0.

Passo 6

Para \displaystyle P\bigl(\tfrac12\le X<\tfrac32\bigr) dividimos em dois trechos:
\int_{\tfrac12}^{1}k\,dx +\int_{1}^{\tfrac32}k(2-x)\,dx.
O primeiro já é \tfrac{1}{3}. No segundo,
\int_{1}^{\tfrac32}k(2-x)\,dx = \tfrac{2}{3}\int_{1}^{\tfrac32}(2-x)\,dx = \tfrac{2}{3}\bigl[2x-\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{1}^{\tfrac32} = \tfrac{2}{3}\bigl[(3-\tfrac{9}{8})-(2-\tfrac12)\bigr] = \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{8} = \tfrac{1}{4}.
Somando,
\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{4+3}{12} = \tfrac{7}{12}.

Resposta

a) \tfrac{2}{3}
b) 0
c) \tfrac{1}{3}
d) 0
e) \tfrac{7}{12}

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