Cinco cartas são extraídas de um baralho comum ( 52 cartas, 13 de cada naipe) sem reposição. Defina a v.a.
número de cartas vermelhas sorteadas.
(a) Quais são os possíveis valores de
?
(b) Encontre a fdp de
.
(c) Calcule a esperança de
.
(a) Quais são os possíveis valores de
(b) Encontre a fdp de
(c) Calcule a esperança de
Passo 1
O enunciado diz que tiramos
cinco cartas
de um baralho comum de
52
cartas, sem reposição, e que cada naipe tem
13
cartas. Definimos a variável aleatória
como o número de cartas vermelhas sorteadas. As questões pedem:
(a) quais são os possíveis valores de ;
(b) a função de probabilidade (fdp) de ;
(c) a esperança de .
Informações relevantes fornecidas: a cada extração não repomos a carta (amostragem sem reposição), há 26
cartas vermelhas no baralho (copas e ouros) e
26
pretas, e o tamanho da amostra é
n=5
.
(a) quais são os possíveis valores de
(b) a função de probabilidade (fdp) de
(c) a esperança de
Informações relevantes fornecidas: a cada extração não repomos a carta (amostragem sem reposição), há
Passo 2
Definir os possíveis valores de
.
-
conta quantas das 5 cartas são vermelhas, logo não pode ser negativo. - O máximo que posso obter é
5 (se todas as cartas saírem vermelhas). - Também não posso ter mais que
26 vermelhas, mas como 5<26 isso não impõe restrição adicional.
Portanto os possíveis valores desão
Passo 3
Como construir a fdp: raciocínio combinatório (ideia-chave).
- Para obter exatamente
cartas vermelhas em 5 retiradas, escolhemos cartas entre as 26 vermelhas e escolhemos as restantes 5-k entre as 26 pretas. - O número de maneiras de escolher
vermelhas é . - O número de maneiras de escolher
5-k pretas é . - O número total de maneiras de escolher qualquer conjunto de
5 cartas do baralho é .
Pela regra de contagem uniforme (todas as combinações igualmente prováveis), a probabilidade de ter exatamentevermelhas é a razão entre o número favorável e o total.
Passo 4
Escrevendo a fdp (fórmula explícita). Para
temos
Explicação dos símbolos:
é o número de combinações de
elementos dentre
. O numerador conta as escolhas que satisfazem exatamente
vermelhas; o denominador conta todas as escolhas possíveis de
5
cartas.
Passo 5
Observação útil sobre simetria (para intuição): como há
26
vermelhas e
26
pretas, nota-se que
pois trocar vermelho/preto troca os dois binômios no numerador. Isso ajuda a checar cálculos rápidos na prova.
Passo 6
Cálculo da esperança usando variáveis indicadoras (método didático e fácil de aplicar sem contas complicadas).
- Para
, defina a variável indicadora I_j que vale 1 se a -ésima carta é vermelha e 0 caso contrário. Então
- Pela linearidade da esperança,
por simetria todas as
têm mesma esperança.
- Qual é
? É a probabilidade de a primeira carta ser vermelha. Como há 26 vermelhas entre 52 cartas,
- Logo
(Outra forma: fórmula geral da hipergeométrica dá
, mesma coisa.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)