Cinco cartas são extraídas de um baralho comum ( 52 cartas, 13 de cada naipe) sem reposição. Defina a v.a. X= número de cartas vermelhas sorteadas.
(a) Quais são os possíveis valores de X ?
(b) Encontre a fdp de X.
(c) Calcule a esperança de X.

Passo 1

O enunciado diz que tiramos cinco cartas de um baralho comum de 52 cartas, sem reposição, e que cada naipe tem 13 cartas. Definimos a variável aleatória X como o número de cartas vermelhas sorteadas. As questões pedem:
(a) quais são os possíveis valores de X;
(b) a função de probabilidade (fdp) de X;
(c) a esperança de X.
Informações relevantes fornecidas: a cada extração não repomos a carta (amostragem sem reposição), há 26 cartas vermelhas no baralho (copas e ouros) e 26 pretas, e o tamanho da amostra é n=5 .

Passo 2

Definir os possíveis valores de X.
  • X conta quantas das 5 cartas são vermelhas, logo não pode ser negativo.
  • O máximo que posso obter é 5 (se todas as cartas saírem vermelhas).
  • Também não posso ter mais que 26 vermelhas, mas como 5<26 isso não impõe restrição adicional.
    Portanto os possíveis valores de X são
X\in\{\,0,1,2,3,4,5\,\}.

Passo 3

Como construir a fdp: raciocínio combinatório (ideia-chave).
  • Para obter exatamente k cartas vermelhas em 5 retiradas, escolhemos k cartas entre as 26 vermelhas e escolhemos as restantes 5-k entre as 26 pretas.
  • O número de maneiras de escolher k vermelhas é \binom{26}{k} .
  • O número de maneiras de escolher 5-k pretas é \binom{26}{5-k} .
  • O número total de maneiras de escolher qualquer conjunto de 5 cartas do baralho é \binom{52}{5} .
    Pela regra de contagem uniforme (todas as combinações igualmente prováveis), a probabilidade de ter exatamente k vermelhas é a razão entre o número favorável e o total.

Passo 4

Escrevendo a fdp (fórmula explícita). Para k=0,1,2,3,4,5 temos
P(X=k)=\frac{\binom{26}{k}\,\binom{26}{5-k}}{\binom{52}{5}}.
Explicação dos símbolos: \binom{a}{b} é o número de combinações de b elementos dentre a. O numerador conta as escolhas que satisfazem exatamente k vermelhas; o denominador conta todas as escolhas possíveis de 5 cartas.

Passo 5

Observação útil sobre simetria (para intuição): como há 26 vermelhas e 26 pretas, nota-se que
P(X=k)=P(X=5-k),
pois trocar vermelho/preto troca os dois binômios no numerador. Isso ajuda a checar cálculos rápidos na prova.

Passo 6

Cálculo da esperança usando variáveis indicadoras (método didático e fácil de aplicar sem contas complicadas).
  • Para j=1,\dots,5, defina a variável indicadora I_j que vale 1 se a j-ésima carta é vermelha e 0 caso contrário. Então
X=I_1+I_2+I_3+I_4+I_5.
  • Pela linearidade da esperança,
E[X]=E[I_1]+E[I_2]+E[I_3]+E[I_4]+E[I_5]=5\cdot E[I_1],
por simetria todas as I_j têm mesma esperança.
  • Qual é E[I_1]? É a probabilidade de a primeira carta ser vermelha. Como há 26 vermelhas entre 52 cartas,
E[I_1]=P(I_1=1)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}.
  • Logo
E[X]=5\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5.
(Outra forma: fórmula geral da hipergeométrica dá E[X]=n\cdot\frac{K}{N}=5\cdot\frac{26}{52}, mesma coisa.)

Resposta

(a) X\in\{0,1,2,3,4,5\}
(b) \displaystyle P(X=k)=\frac{\binom{26}{k}\,\binom{26}{5-k}}{\binom{52}{5}},\quad k=0,1,2,3,4,5
(c) E[X]=\dfrac{5}{2}=2{,}5

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