Suponha que os tempos de atendimento de clientes em um guichê sejam variáveis aleatórias X1, X2, ldots, Xn i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com média mu=15 min e variância sigma^2=16 min^2. Defina o tempo médio de atendimento como
barX=1n sumi=1^n Xi
Determine uma expressão para E[barX] e Var[barX] em termos de mu e sigma^2;

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem bar X = 1n sumi=1^n Xi tempos de atendimento que são independentes e com mesma distribuição (i.i.d.), cada uma com média minutos e variância minutos². Definimos a média amostral
O conteúdo é Estatística Básica: cálculo de valor esperado e variância de combinações lineares de variáveis aleatórias. Para resolver, vamos usar:
  1. Linearidade da esperança.
  2. Propriedade de independência para variâncias e a regra de que .

Passo 2

Calcular E[bar X] = El(1n sumi=1^n Xir) = 1n sumi=1^n E[Xi] .
  • Teoria: a esperança de soma é soma das esperanças, e constante sai de fora.
E[bar X] = 1n cdot nmu = mu
  • Como cada , temos

Passo 3

Calcular .
  • Teoria: para variáveis independentes, , e .
  • Cada , logo

Resposta

E[\bar X] =
Var[\bar X] =

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