Suponha X sim Uniforme((-1,1)). Obtenha o valor exato de
P(|X-E[X]| >= 2 raizVar[X])
e compare com o valor do limitante superior dado pela Desigualdade de Tchebychev. Comente sobre a diferença entre os valores obtidos.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma variável aleatória Pl(|X - E[X]| >= 2raizVar[X]r) que é uniforme no intervalo . Isso é exercício de Probabilidade, mais especificamente de variáveis contínuas e desigualdade de Chebyshev.
O que vai rolar:
  • Calcular a média e a variância de .
  • Avaliar a probabilidade exata
  • Comparar com o limite que a Desigualdade de Chebyshev dá pra mesma probabilidade.

Passo 2

Primeiro, a média de uma uniforme em E[X] ;=; -1 + 12 ;=; 0 é Var[X] ;=; (1 - (-1))^212 ;=;(2)^212 ;=;412 ;=;13 . Aqui 2raizVar[X] = 2 times 1raiz3 = 2raiz3 approx 1,155 , , então
A variância de uma uniforme em é . Então
Logo , e o tal é

Passo 3

Agora, a gente quer
Pl(|X - 0| >= tfrac2raiz3r) ;=;Pl(|X| >= tfrac2raiz3r)
Mas Pl(|X|>=tfrac2raiz3r) = 0 vive só entre e . Como , não há valores de que satisfaçam . Logo, a probabilidade exata é

Passo 4

Desigualdade de Chebyshev diz, em geral, que para qualquer Pl(|X - E[X]| >= kr) ;<=; Var[X]k^2 :

Aqui , então
[
P\bigl(|X-E[X]|\ge2\sqrt{\Var[X]}\bigr)
;\le;
\frac{\Var[X]}{\bigl(2\sqrt{\Var[X]}\bigr)^2}

\frac{1/3}{4/3}

\frac{1}{4}
=0{,}25.
]

Passo 5

Comparando:
  • Probabilidade exata: .
  • Limite de Chebyshev: .
    A desigualdade de Chebyshev sempre dá um limite conservador (mais alto) porque não assume nada além da média e da variância. No nosso caso, ela diz “é no máximo ”, mas, na real, sabendo que é uniforme em , vimos que é .

Resposta

Probabilidade exata: .
Limitante de Chebyshev: .

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