Suponha
. Obtenha o valor exato de
e compare com o valor do limitante superior dado pela Desigualdade de Tchebychev. Comente sobre a diferença entre os valores obtidos.
Passo 1
Beleza, a gente tem uma variável aleatória
que é uniforme no intervalo
. Isso é exercício de Probabilidade, mais especificamente de variáveis contínuas e desigualdade de Chebyshev.
O que vai rolar:
O que vai rolar:
- Calcular a média
e a variância de . - Avaliar a probabilidade exata
- Comparar com o limite que a Desigualdade de Chebyshev dá pra mesma probabilidade.
Passo 2
Primeiro, a média de uma uniforme em
é
. Aqui
,
, então
A variância de uma uniforme em
é
. Então
Logo , e o tal é
Passo 3
Agora, a gente quer
Mas
vive só entre
e
. Como
, não há valores de
que satisfaçam
. Logo, a probabilidade exata é
Passo 4
Desigualdade de Chebyshev diz, em geral, que para qualquer
:
Aqui , então
[
P\bigl(|X-E[X]|\ge2\sqrt{\Var[X]}\bigr)
;\le;
\frac{\Var[X]}{\bigl(2\sqrt{\Var[X]}\bigr)^2}
\frac{1/3}{4/3}
\frac{1}{4}
=0{,}25.
]
=0{,}25.
]
Passo 5
Comparando:
- Probabilidade exata:
. - Limite de Chebyshev:
.
A desigualdade de Chebyshev sempre dá um limite conservador (mais alto) porque não assume nada além da média e da variância. No nosso caso, ela diz “é no máximo”, mas, na real, sabendo que é uniforme em , vimos que é .
Resposta
Probabilidade exata:
.
Limitante de Chebyshev: .
Limitante de Chebyshev: