Suponha que X tenha distribuição normal com média igual a 1 e variância igual a 4 . Encontre o valor de cada uma das seguintes probabilidades:
\mathbb{P}[|X|<2]

Passo 1

O enunciado dá que X tem distribuição normal com média 1 e variância 4. A pergunta é encontrar a probabilidade
\mathbb{P}[|X|<2].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{média}=\mu=1,\qquad \text{variância}=\sigma^2=4\Rightarrow \text{desvio-padrão } \sigma=2.éâã
A tarefa é calcular a probabilidade de X estar entre -2 e 2.

Passo 2

Reescrevemos a probabilidade de forma clássica:
\mathbb{P}[|X|<2]=\mathbb{P}[-2<X<2].
Isto é, queremos a área da curva normal entre as abscissas -2 e 2.

Passo 3

Para usar a tabela ou propriedades da normal padrão, vamos padronizar X. Definimos a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-1}{2}.
Explicando: padronizar transforma qualquer normal N(\mu,\sigma^2) numa normal padrão N(0,1). Aqui \mu é a média (posição do pico) e \sigma é o desvio padrão (largura da curva). A padronização subtrai a média e divide pelo desvio para obter média 0 e variância 1.

Passo 4

Aplicamos a padronização aos extremos do intervalo -2 e 2:
\text{limite inferior: }\frac{-2-1}{2}=\frac{-3}{2}=-1{,}5,
\text{limite superior: }\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}=0{,}5.
Portanto
\mathbb{P}[-2<X<2]=\mathbb{P}\big[-1{,}5<Z<0{,}5\big].

Passo 5

Usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, \Phi(t)=\mathbb{P}[Z\le t]. Assim
\mathbb{P}\big[-1{,}5<Z<0{,}5\big]=\Phi(0{,}5)-\Phi(-1{,}5).
Usamos também a propriedade de simetria da normal padrão:
\Phi(-a)=1-\Phi(a),\quad\text{para }a>0.
Então
\Phi(0{,}5)-\Phi(-1{,}5)=\Phi(0{,}5)-\big(1-\Phi(1{,}5)\big)=\Phi(0{,}5)+\Phi(1{,}5)-1.

Passo 6

Agora precisamos dos valores de \Phi(0{,}5) e \Phi(1{,}5). Esses valores vêm da tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística. Peguei os valores em uma tabela padrão:
\Phi(0{,}5)\approx 0{,}6915,\qquad \Phi(1{,}5)\approx 0{,}9332.
(Expliquei: \Phi(0{,}5) é a probabilidade de Z\le 0{,}5; \Phi(1{,}5) é a probabilidade de Z\le 1{,}5.)

Passo 7

Substituindo os valores:
\mathbb{P}[|X|<2]=\Phi(0{,}5)+\Phi(1{,}5)-1\approx 0{,}6915+0{,}9332-1=0{,}6247.
Arredondando normalmente, a probabilidade é aproximadamente 0{,}6247.

Resposta

0{,}6247

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