Suponha que
e
sejam variáveis aleatórias tais que
,
e
. Seja
. Encontre
e
sob cada uma das seguintes condições:
e
são não correlacionadas;
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre
e
para
sob a condição de que
e
são não correlacionadas.
As informações fornecidas são:
,
,
e
.
A condição “não correlacionadas” significa que .
As informações fornecidas são:
A condição “não correlacionadas” significa que
Passo 2
Primeiro vamos calcular a esperança de
. Usamos a propriedade da linearidade da esperança:
Aqui
,
e
. Substituindo os valores:
Agora plugamos
e
:
Faço as contas passo a passo:
Portanto
.
Passo 3
Agora a variância de
. Vamos usar propriedades básicas:
-
para constante . -
porque constantes não alteram a variância. -
.
A expressão geral para a variância de uma soma linear é
No nosso caso
e
, e
não contribui para a variância.
Passo 4
Como o enunciado diz que
e
são não correlacionadas, temos
. Logo o termo misto some e a fórmula vira
Substituindo
e
:
Passo 5
Faço as contas finais da variância:
Portanto
.