Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias tais que \mathbb{E}[X]=3, \mathbb{E}[Y]=1, \operatorname{Var}(X)=4 e \operatorname{Var}(Y)=9. Seja Z=5 X-Y+15. Encontre \mathbb{E}(Z) e \operatorname{Var}(Z) sob cada uma das seguintes condições:
X e Y são não correlacionadas;

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre \mathbb{E}(Z) e \operatorname{Var}(Z) para Z=5X-Y+15 sob a condição de que X e Y são não correlacionadas.
As informações fornecidas são:
\mathbb{E}[X]=3, \mathbb{E}[Y]=1, \operatorname{Var}(X)=4 e \operatorname{Var}(Y)=9.
A condição “não correlacionadas” significa que \operatorname{Cov}(X,Y)=0.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a esperança de Z. Usamos a propriedade da linearidade da esperança:
\mathbb{E}(aX+bY+c)=a\,\mathbb{E}(X)+b\,\mathbb{E}(Y)+c.
Aqui a=5, b=-1 e c=15. Substituindo os valores:
\mathbb{E}(Z)=5\mathbb{E}(X)-1\cdot\mathbb{E}(Y)+15.
Agora plugamos \mathbb{E}(X)=3 e \mathbb{E}(Y)=1:
\mathbb{E}(Z)=5\cdot 3 - 1\cdot 1 + 15.
Faço as contas passo a passo:
5\cdot 3=15,\quad 15-1=14,\quad 14+15=29.
Portanto \mathbb{E}(Z)=29.

Passo 3

Agora a variância de Z. Vamos usar propriedades básicas:
  • \operatorname{Var}(aX)=a^{2}\operatorname{Var}(X) para constante a.
  • \operatorname{Var}(X+c)=\operatorname{Var}(X) porque constantes não alteram a variância.
  • \operatorname{Cov}(aX,bY)=ab\,\operatorname{Cov}(X,Y).
A expressão geral para a variância de uma soma linear é
\operatorname{Var}(aX+bY+c)=a^{2}\operatorname{Var}(X)+b^{2}\operatorname{Var}(Y)+2ab\,\operatorname{Cov}(X,Y).
No nosso caso a=5 e b=-1, e c=15 não contribui para a variância.

Passo 4

Como o enunciado diz que X e Y são não correlacionadas, temos \operatorname{Cov}(X,Y)=0. Logo o termo misto some e a fórmula vira
\operatorname{Var}(Z)=5^{2}\operatorname{Var}(X)+(-1)^{2}\operatorname{Var}(Y).
Substituindo \operatorname{Var}(X)=4 e \operatorname{Var}(Y)=9:
\operatorname{Var}(Z)=25\cdot 4 + 1\cdot 9.

Passo 5

Faço as contas finais da variância:
25\cdot 4 = 100,\quad 100+9=109.
Portanto \operatorname{Var}(Z)=109.

Resposta

\mathbb{E}(Z)=29
\operatorname{Var}(Z)=109

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