Suponha que
e
sejam variáveis aleatórias tais que
,
e
. Seja
. Encontre
e
sob cada uma das seguintes condições:
e
são independentes;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
-
. -
. -
. -
. -
. - Condição adicional:
e são independentes.
O que o exercício pede:
- Encontrar
. - Encontrar
(usar que e são independentes).
Passo 2
Regra para esperança (intuição e fórmula):
- A esperança é linear: somar variáveis e multiplicar por constantes distribui sobre a esperança. Em palavras: a média de uma soma é a soma das médias; se você escala uma variável por uma constante, a média escala pela mesma constante; e somar uma constante desloca a média.
- Formalmente, para constantes
e variáveis aleatórias ,
Aqui
,
e
. Vamos aplicar essa fórmula passo a passo.
Cálculo de
:
- Primeiro calcule
: . - Depois calcule
: . - Some tudo e acrescente a constante
: .
Portanto,
Passo 3
Regra para variância (intuição e fórmula):
- Variância mede dispersão em torno da média. Para uma combinação linear
, a constante não afeta a variância (pense: adicionar um deslocamento não muda quanto os valores variam entre si). - Se
e não são necessariamente independentes, aparece um termo de covariância. A fórmula geral é
onde
.
- Se
e são independentes, então . Isso simplifica a fórmula para
Passo 4
Aplicando ao nosso caso (
,
,
) e usando independência (logo
):
- Calcule
: . - Calcule
: . - Some os dois (termo de covariância é zero):
.
Logo,