Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias tais que \mathbb{E}[X]=3, \mathbb{E}[Y]=1, \operatorname{Var}(X)=4 e \operatorname{Var}(Y)=9. Seja Z=5 X-Y+15. Encontre \mathbb{E}(Z) e \operatorname{Var}(Z) sob cada uma das seguintes condições:
X e Y são independentes;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
  • \mathbb{E}[X]=3.
  • \mathbb{E}[Y]=1.
  • \operatorname{Var}(X)=4.
  • \operatorname{Var}(Y)=9.
  • Z=5X-Y+15.
  • Condição adicional: X e Y são independentes.
O que o exercício pede:
  • Encontrar \mathbb{E}(Z).
  • Encontrar \operatorname{Var}(Z) (usar que X e Y são independentes).

Passo 2

Regra para esperança (intuição e fórmula):
  • A esperança é linear: somar variáveis e multiplicar por constantes distribui sobre a esperança. Em palavras: a média de uma soma é a soma das médias; se você escala uma variável por uma constante, a média escala pela mesma constante; e somar uma constante desloca a média.
  • Formalmente, para constantes a,b,c e variáveis aleatórias X,Y,
\mathbb{E}[aX+bY+c]=a\,\mathbb{E}[X]+b\,\mathbb{E}[Y]+c.
Aqui a=5, b=-1 e c=15. Vamos aplicar essa fórmula passo a passo.
Cálculo de \mathbb{E}(Z):
  • Primeiro calcule 5\mathbb{E}[X]: 5\cdot 3 = 15.
  • Depois calcule (-1)\mathbb{E}[Y]: (-1)\cdot 1 = -1.
  • Some tudo e acrescente a constante 15: 15 + (-1) + 15.
Portanto,
\mathbb{E}(Z)=15-1+15=29.

Passo 3

Regra para variância (intuição e fórmula):
  • Variância mede dispersão em torno da média. Para uma combinação linear aX+bY+c, a constante c não afeta a variância (pense: adicionar um deslocamento não muda quanto os valores variam entre si).
  • Se X e Y não são necessariamente independentes, aparece um termo de covariância. A fórmula geral é
\operatorname{Var}(aX+bY+c)=a^{2}\operatorname{Var}(X)+b^{2}\operatorname{Var}(Y)+2ab\,\operatorname{Cov}(X,Y),
onde \operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}\big[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])\big]=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y].
  • Se X e Y são independentes, então \operatorname{Cov}(X,Y)=0. Isso simplifica a fórmula para
\operatorname{Var}(aX+bY+c)=a^{2}\operatorname{Var}(X)+b^{2}\operatorname{Var}(Y).

Passo 4

Aplicando ao nosso caso ( a=5, b=-1, c=15) e usando independência (logo \operatorname{Cov}(X,Y)=0):
  • Calcule a^{2}\operatorname{Var}(X): 5^{2}\cdot 4 = 25\cdot 4 = 100.
  • Calcule b^{2}\operatorname{Var}(Y): (-1)^{2}\cdot 9 = 1\cdot 9 = 9.
  • Some os dois (termo de covariância é zero): 100 + 9 = 109.
Logo,
\operatorname{Var}(Z)=109.

Resposta

\mathbb{E}(Z)=29
\operatorname{Var}(Z)=109

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