7- Os amortecedores de automóveis podem ser considerados como molas de compressão.
a) Se num carro, os amortecedores estão ajustados para produzirem oscilações de frequência igual a 3,0 \mathrm{~Hz}, qual é a constante elástica equivalente das molas, sabendo-se que o carro pesa 1600 kgf ?
b) Qual será a frequência de vibração deste carro, se subirem cinco passageiros, pesando 80 kg cada um ?

Passo 1

O enunciado trata as suspensões do carro como um oscilador massa–mola com frequência de vibração \,3{,}0\\ \text{Hz} e peso total de 1600\\ \text{kgf}. Queremos (a) a constante elástica equivalente k e (b) a nova frequência se subirem cinco passageiros de 80\\ \text{kg} cada. Vamos usar a fórmula de frequência para um oscilador massa–mola.

Passo 2

Para um oscilador massa–mola, a frequência própria f relaciona-se a k e à massa m por
f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui a massa m corresponde ao peso dividido por g; como 1600\\ \text{kgf} é o peso de 1600\\ \text{kg}, temos m=1600\\ \text{kg}.

Passo 3

Isolando k na expressão de f, obtemos
k = m\,(2\pi f)^{2}.
Substituindo m=1600\\ \text{kg} e f=3{,}0\\ \text{Hz},
k = 1600\,(2\pi\cdot3{,}0)^{2} =1600\,(6\pi)^{2} =1600\cdot36\pi^{2} =57600\,\pi^{2}\approx5{,}68\times10^{5}\\ \text{N/m}.

Passo 4

Com cinco passageiros de 80\\ \text{kg} cada, a massa total fica
m' = 1600 + 5\times80 = 1600 +400 =2000\\ \text{kg}.

Passo 5

A nova frequência f' é
f' = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m'}} =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{5{,}68\times10^{5}}{2000}} =\frac{1}{2\pi}\sqrt{284{,}0} \approx2{,}68\\ \text{Hz}.

Resposta

a) k \approx 5{,}7\times10^{5}\\ \text{N/m}.
b) f' \approx 2{,}7\\ \text{Hz}.

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