Suponha que todas as funçóes dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Se
, onde
, mostre que
Se
Passo 1
O enunciado define
com
e pressupõe que
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Queremos mostrar a identidade de transformação da laplaciana
Para isso, vamos usar duas aplicações da regra da cadeia: primeiro para obter
e
, depois para as segundas derivadas.
Passo 2
Calculemos as derivadas de
e
em relação a
e
:
Pela regra da cadeia,
Passo 3
Agora dérivamos novamente em
e em
. Usando produto e cadeia,
Passo 4
Somando
, os termos lineares em
cancelam e os termos mistos em
também:
Portanto
isto é,