Suponha que todas as funçóes dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
Se u=f(x, y), onde x=e^t cos t e y=e^t sen t, mostre que
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=e^-2 u[partial^2 upartial s^2+partial^2 upartial t^2]

Passo 1

O enunciado define u = f(x,y) com
x = e^scos t, y = e^ssin t,
e pressupõe que f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Queremos mostrar a identidade de transformação da laplaciana
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2 = e^-2sl[partial^2upartial s^2+partial^2upartial t^2r]
Para isso, vamos usar duas aplicações da regra da cadeia: primeiro para obter partial u/partial s e partial u/partial t, depois para as segundas derivadas.

Passo 2

Calculemos as derivadas de x e y em relação a s e t:
xs = partialpartial s(e^scos t)=e^scos t, xt = partialpartial t(e^scos t)=-e^ssin t,
ys = partialpartial s(e^ssin t)=e^ssin t, yt = partialpartial t(e^ssin t)=e^scos t
Pela regra da cadeia,
us = fx,xs + fy,ys = e^sl(fxcos t + fysin tr),
ut = fx,xt + fy,yt = e^sl(-fxsin t + fycos tr)

Passo 3

Agora dérivamos novamente em s e em t. Usando produto e cadeia,
uss =partialpartial sl[e^s(fxcos t + fysin t)r] =e^s(fxcos t + fysin t) +e^2sl(fxxcos^2t +2fxysin tcos t +fyysin^2tr),
utt =partialpartial tl[e^s(-fxsin t + fycos t)r] =-e^s(fxcos t + fysin t) +e^2sl(fxxsin^2t -2fxysin tcos t +fyycos^2tr)

Passo 4

Somando uss+utt, os termos lineares em e^s cancelam e os termos mistos em fxy também:
uss+utt =e^2sl[fxx(cos^2t+sin^2t)+fyy(sin^2t+cos^2t)r] =e^2s(fxx+fyy)
Portanto
fxx+fyy =e^-2sl(uss+uttr),
isto é,
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2 =e^-2sl[partial^2upartial s^2+partial^2upartial t^2r]

Resposta

partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2 = e^-2sl[partial^2upartial s^2+partial^2upartial t^2r]

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