Suponha que, para todo x,|f(x)| <= 3 x^6. Calcule lim x 0 f(x)x. Para isso, utilize a definição de módulo e o teorema do confronto. Lembre que ambos foram ensinados em sala de aula.

Passo 1

O enunciado diz que para todo x vale
|f(x)| <= 3,x^6
e pede limxto0f(x)x. O conteúdo que vamos usar é a definição de limite via valor absoluto (módulo) e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Começamos aplicando o módulo à função que queremos no limite:
|f(x)x-0|=|f(x)x| =|f(x)||x|<=3,|x|^6|x| =3,|x|^5

Passo 3

Como limxto03,|x|^5=0, temos duas funções g(x)=-3,|x|^5 e h(x)=3,|x|^5 tais que
g(x)<= f(x)x<= h(x),
e limxto0g(x)=limxto0h(x)=0. Pelo Teorema do Confronto segue que
limxto0f(x)x=0

Passo 4

Para reforçar com a definição epsilon-delta: dado varepsilon>0, escolha
de<a = l(tfracvarepsilon3r)^!1/5
Então, sempre que 0<|x|<de<a, obtemos
l|tfracf(x)x-0r|<=3,|x|^5<3,de<a^5=3,varepsilon3=varepsilon,
o que confirma limxto0tfracf(x)x=0.

Resposta

limxto0f(x)x=0

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