Suponha que tomemos um empréstimo de 6.000 reais a uma taxa de juros de 11 \%
(a) Dê uma estimativa do pagamento mensal.
(b) Mantendo esse pagamento mensal, dê uma estimativa da quantidade que poderíamos tomar emprestada se o juro caísse para 9 \%.

Passo 1

Temos um empréstimo de R$ 6000 que será pago em 12 prestações mensais constantes (anuidades). A taxa nominal anual é de 11 % com capitalização mensal, logo a taxa mensal é \tfrac{11\%}{12}. Vamos usar o conceito de anuidade nivelada, em que o valor presente P está dado por
P = R \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1+i)^k}
onde R é a prestação mensal, i a taxa mensal e n=12.

Passo 2

Para encontrar a prestação mensal R, invertemos a fórmula da anuidade:
R = P \; \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}
Aqui P=6000, i = \dfrac{0{,}11}{12} e n=12.

Passo 3

Calculamos primeiro a taxa mensal
i = \frac{0{,}11}{12} \approx 0{,}0091667
e o fator
(1+i)^{-12} = (1{,}0091667)^{-12} \approx 0{,}8960.

Passo 4

Substituindo em
R = 6000 \cdot \frac{0{,}0091667}{1 - 0{,}8960}
obtemos
R \approx 6000 \times \frac{0{,}0091667}{0{,}1040} \approx 529{,}8.

Passo 5

Agora mantemos R\approx529{,}8 e ajustamos a taxa para 9 % ao ano, ou
i_{\text{novo}} = \frac{0{,}09}{12} = 0{,}0075.
Para saber quanto poderíamos emprestar P_{\text{novo}} com o mesmo número de prestações e mesma R, usamos
P_{\text{novo}} = R \; \frac{1 - (1+i_{\text{novo}})^{-12}}{i_{\text{novo}}}.

Passo 6

Calculamos
(1+i_{\text{novo}})^{-12} = (1{,}0075)^{-12} \approx 0{,}9142
e então
P_{\text{novo}} \approx 529{,}8 \times \frac{1 - 0{,}9142}{0{,}0075} = 529{,}8 \times \frac{0{,}0858}{0{,}0075} \approx 529{,}8 \times 11{,}44 \approx 6060.

Resposta

(a) R$ 530 por mês (aproximadamente).
(b) Cerca de R$ 6060 poderíamos tomar emprestado.

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