Suponha que de um total de
varetas cada uma seja quebrada em uma parte longa e em uma curta, As
partes são arrumadas em
pares dos quais novas varetas são formadas. Determine a probabilidade
a) de que as partes sejam unidas na ordem original,
b) de que todas as partes longas sejam emparelhadas com partes curtas.
a) de que as partes sejam unidas na ordem original,
b) de que todas as partes longas sejam emparelhadas com partes curtas.
Passo 1
Beleza! A questão diz que a gente tem
varetas, cada uma é quebrada em uma parte longa e uma parte curta. No fim temos
pedaços e vamos juntá-los em
pares aleatoriamente.
Conteúdo: é um problema de contagem em combinatória (emparelhamentos perfeitos). Vamos precisar saber quantos emparelhamentos existem ao todo e depois quantos são favoráveis em cada caso.
Conteúdo: é um problema de contagem em combinatória (emparelhamentos perfeitos). Vamos precisar saber quantos emparelhamentos existem ao todo e depois quantos são favoráveis em cada caso.
Passo 2
Antes de mais nada, quantos jeitos existem de emparelhar
objetos em
pares?
- Se a gente considerasse todas as permutações dos
pedaços, teríamos . - Mas dentro de cada par a ordem não importa (o par
é igual a ), então dividimos por para cada um dos pares, ou seja . - Além disso, a ordem entre os
pares também não importa, então dividimos por .
Logo, o número total de emparelhamentos é
Passo 3
(a) Queremos a probabilidade de que cada parte volte com sua “metade original”. Ou seja, apenas 1 emparelhamento é favorável (o que junta sempre os dois pedacinhos da mesma vareta).
Então
Então
Passo 4
(b) Agora a gente só exige que todo par seja “longa + curta”, mas não necessariamente a “curta” original.
- As
partes longas são distintas e as partes curtas também. - Para cada parte longa escolhemos uma parte curta: isso é uma bijeção de um conjunto de tamanho
em outro, ou seja maneiras.
Cada uma dessas bijeções gera um emparelhamento onde todo par é “longa + curta”.
Logo o número de casos favoráveis é, e
Resposta
a)
b)
b)