Suponha que de um total de n varetas cada uma seja quebrada em uma parte longa e em uma curta, As 2 n partes são arrumadas em n pares dos quais novas varetas são formadas. Determine a probabilidade
a) de que as partes sejam unidas na ordem original,
b) de que todas as partes longas sejam emparelhadas com partes curtas.

Passo 1

Beleza! A questão diz que a gente tem varetas, cada uma é quebrada em uma parte longa e uma parte curta. No fim temos pedaços e vamos juntá-los em pares aleatoriamente.
Conteúdo: é um problema de contagem em combinatória (emparelhamentos perfeitos). Vamos precisar saber quantos emparelhamentos existem ao todo e depois quantos são favoráveis em cada caso.

Passo 2

Antes de mais nada, quantos jeitos existem de emparelhar Ntotal ;=; (2n)!2^n,n!, objetos em pares?
  1. Se a gente considerasse todas as permutações dos pedaços, teríamos .
  2. Mas dentro de cada par a ordem não importa (o par é igual a ), então dividimos por para cada um dos pares, ou seja .
  3. Além disso, a ordem entre os pares também não importa, então dividimos por .
    Logo, o número total de emparelhamentos é

Passo 3

(a) Queremos a probabilidade de que cada parte volte com sua “metade original”. Ou seja, apenas 1 emparelhamento é favorável (o que junta sempre os dois pedacinhos da mesma vareta).
Então
Pa ;=; 1Ntotal ;=;1(2n)!2^n,n! ;=;2^n,n!(2n)!,

Passo 4

(b) Agora a gente só exige que todo par seja “longa + curta”, mas não necessariamente a “curta” original.
  • As Pb ;=;n!Ntotal ;=;n!(2n)!2^n,n! ;=;2^n,(n!)^2(2n)!, partes longas são distintas e as partes curtas também.
  • Para cada parte longa escolhemos uma parte curta: isso é uma bijeção de um conjunto de tamanho em outro, ou seja maneiras.
    Cada uma dessas bijeções gera um emparelhamento onde todo par é “longa + curta”.
    Logo o número de casos favoráveis é , e

Resposta

a)
b)

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