Suponha que a temperatura é T\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right) e que a velocidade do vento é v( milhas / \mathrm{h}). Neste caso, a temperatura corrigida é dada pela função
W(v)=\left\{\begin{array}{lc} T \quad, & \text { se } 0 \leq v \leq 4 \\\\ 91,4+(91,4-T)(0,0203 v-0,304 \sqrt{v}-0,474), & \text { se } 4<v<45 \\\\ 1,6 T-55 \quad, & \text { se } v \geq 45 \end{array}\right.
(a) Suponha que T=30^{\circ} \mathrm{F}. Qual é a temperatura corrigida quando v=20 milhas / \mathrm{h} ? E quando v= 50 milhas/h?
(b) Para T=30^{\circ} \mathrm{F}, que velocidade do vento corresponde a uma temperatura corrigida de 0^{\circ} \mathrm{F} ?
(c) A função W é contínua em seu domínio?
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes [W(v)) (temperatura corrigida em função da velocidade do vento v, em milhas/h) e pede três coisas quando T=30^\circ\mathrm{F}:
(a) Calcular W(20) (quando v=20 milhas/h) e W(50) (quando v=50 milhas/h).
(b) Para T=30^\circ\mathrm{F}, encontrar v tal que W(v)=0^\circ\mathrm{F}.
(c) Verificar se W é contínua no seu domínio (ou identificar onde não é).
Verificação das raízes quanto ao domínio e conclusão da parte (b):
v_1\approx99,28 está fora do intervalo onde aplicamos a fórmula do meio (4<v<45); além disso, para v\ge45 a função é constante -7, logo v_1 não é solução válida para W(v)=0.
v_2\approx25,16 está dentro de 4<v<45, portanto é a solução válida.
Conclusão: a velocidade do vento que dá W(v)=0^\circ\mathrm{F} (com T=30^\circ\mathrm{F}) é aproximadamente v\approx25,16 milhas/h.
Passo 7
Análise de continuidade (parte (c)). Lembrança rápida: uma função é contínua num ponto v_0 se o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função em v_0 existem e são iguais.
Para v estritamente dentro de cada ramo (por exemplo 0<v<4, 4<v<45, v>45), as expressões usadas são funções combinações de constantes, polinômios e \sqrt{v}, que são contínuas nesses intervalos; logo W é contínua em todos os pontos internos de cada ramo.
Pontos críticos a verificar: as fronteiras v=4 e v=45.
Verifico v=4:
Valor à esquerda e valor da função em v=4 (primeiro ramo): W(4)=T=30^\circ\mathrm{F}.
Limite à direita (usar a fórmula do meio com v\to4^+; posso avaliar a expressão no v=4 porque a fórmula é contínua até o limite):
Portanto W(45^-)\approx-6,8273^\circ\mathrm{F}, que difere de W(45)= -7^\circ\mathrm{F}. Há, portanto, uma descontinuidade em v=45.
Conclusão sobre continuidade: W é contínua em todos os pontos internos dos três ramos, mas apresenta descontinuidades nas fronteiras v=4 e v=45. Em resumo: não, W não é contínua em todo o seu domínio; é descontínua em v=4 e v=45.
Resposta
(a) W(20)\approx 3,75^\circ\mathrm{F},\quad W(50)=-7^\circ\mathrm{F}.
(b) v\approx 25,16 milhas/h.
(c) W não é contínua em v=4 nem em v=45; é contínua em todos os outros pontos do domínio.