Suponha que a temperatura é T\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right) e que a velocidade do vento é v( milhas / \mathrm{h}). Neste caso, a temperatura corrigida é dada pela função
W(v)=\left\{\begin{array}{lc} T \quad, & \text { se } 0 \leq v \leq 4 \\\\ 91,4+(91,4-T)(0,0203 v-0,304 \sqrt{v}-0,474), & \text { se } 4<v<45 \\\\ 1,6 T-55 \quad, & \text { se } v \geq 45 \end{array}\right.
(a) Suponha que T=30^{\circ} \mathrm{F}. Qual é a temperatura corrigida quando v=20 milhas / \mathrm{h} ? E quando v= 50 milhas/h?
(b) Para T=30^{\circ} \mathrm{F}, que velocidade do vento corresponde a uma temperatura corrigida de 0^{\circ} \mathrm{F} ?
(c) A função W é contínua em seu domínio?

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes [W(v)) (temperatura corrigida em função da velocidade do vento v, em milhas/h) e pede três coisas quando T=30^\circ\mathrm{F}:
  • (a) Calcular W(20) (quando v=20 milhas/h) e W(50) (quando v=50 milhas/h).
  • (b) Para T=30^\circ\mathrm{F}, encontrar v tal que W(v)=0^\circ\mathrm{F}.
  • (c) Verificar se W é contínua no seu domínio (ou identificar onde não é).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é
W(v)=\begin{cases} T,& 0\le v\le4,\\[4pt] 91,4+(91,4-T)\bigl(0,0203v-0,304\sqrt{v}-0,474\bigr),& 4<v<45,\\[4pt] 1,6T-55,& v\ge45. \end{cases}
  • Vamos usar T=30^\circ\mathrm{F}\] (peguei isso do enunciado). - Domínio considerado: \(v\ge0 (velocidade do vento não negativa).]

Passo 2

Avaliar W(20). Primeiro identifico qual ramo usar: 20 satisfaz 4<v<45, então uso a fórmula do meio. Substituo T=30 e v=20 na expressão
W(20)=91,4+(91,4-30)\bigl(0,0203\cdot20-0,304\sqrt{20}-0,474\bigr).
Agora faço as contas passo a passo (aproximações numéricas com 4 casas decimais onde necessário):
  • Calcular 91,4-30:
91,4-30=61,4.
  • Calcular 0,0203\cdot20:
0,0203\cdot20=0,406.
  • Calcular \sqrt{20} e 0,304\sqrt{20}:
\sqrt{20}\approx4,4721,\qquad 0,304\sqrt{20}\approx0,304\cdot4,4721\approx1,3595.
  • Somar os termos dentro do parêntese:
0,0203\cdot20-0,304\sqrt{20}-0,474 \approx 0,406-1,3595-0,474 \approx -1,4275.
  • Multiplicar por 61,4:
61,4\cdot(-1,4275)\approx -87,6496.
  • Somar 91,4:
W(20)\approx 91,4-87,6496\approx 3,7504.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtenho
W(20)\approx 3,75^\circ\mathrm{F}.

Passo 3

Avaliar W(50). Agora 50\ge45, então uso o ramo v\ge45:
W(50)=1,6T-55.
Substituindo T=30:
W(50)=1,6\cdot30-55=48-55=-7.
Assim
W(50)=-7^\circ\mathrm{F}.

Passo 4

Resolver W(v)=0 para T=30. Primeiro analiso em quais ramos pode haver solução:
  • Se 0\le v\le4, então W(v)=T=30, que não é 0. Sem solução nesse intervalo.
  • Se v\ge45, então W(v)=1,6T-55=1,6\cdot30-55=-7, constante, não é 0. Sem solução nesse ramo.
  • Logo qualquer solução deve estar no intervalo 4<v<45, e aí vale a fórmula do meio. Escrevo a equação:
0=91,4+(91,4-30)\bigl(0,0203v-0,304\sqrt{v}-0,474\bigr).
Defino A=91,4-30=61,4 para simplificar. A equação fica
0=91,4+61,4\bigl(0,0203v-0,304\sqrt{v}-0,474\bigr).
Isolo o parêntese:
61,4\bigl(0,0203v-0,304\sqrt{v}-0,474\bigr)=-91,4,
0,0203v-0,304\sqrt{v}-0,474=-\dfrac{91,4}{61,4}\approx-1,4880.
Somando 0,474 aos dois lados:
0,0203v-0,304\sqrt{v}\approx -1,4880+0,474=-1,0140.
Reescrevo como
0,0203v-0,304\sqrt{v}+1,0140=0.

Passo 5

Resolver a equação transformando em quadrática por substituição. Faço x=\sqrt{v} (então x>0 e v=x^2). Substituo:
0,0203x^2-0,304x+1,0140=0.
Isto é uma equação quadrática ax^2+bx+c=0 com
a=0,0203,\quad b=-0,304,\quad c=1,0140.
Aplicando a fórmula quadrática x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}:
  • Calcular o discriminante:
\Delta=b^2-4ac = (-0,304)^2-4\cdot0,0203\cdot1,0140.
(-0,304)^2=0,092416,\qquad 4\cdot0,0203\cdot1,0140\approx0,0823368,
\Delta\approx0,092416-0,0823368=0,0100792.
\sqrt{\Delta}\approx0,100395.
  • Calcular as raízes x:
x=\dfrac{0,304\pm0,100395}{2\cdot0,0203}=\dfrac{0,304\pm0,100395}{0,0406}.
Cálculo das duas possibilidades:
x_1\approx\dfrac{0,304+0,100395}{0,0406}\approx\dfrac{0,404395}{0,0406}\approx9,964,
x_2\approx\dfrac{0,304-0,100395}{0,0406}\approx\dfrac{0,203605}{0,0406}\approx5,0157.
  • Volto para v=x^2:
v_1\approx(9,964)^2\approx99,28,\qquad v_2\approx(5,0157)^2\approx25,16.

Passo 6

Verificação das raízes quanto ao domínio e conclusão da parte (b):
  • v_1\approx99,28 está fora do intervalo onde aplicamos a fórmula do meio ( 4<v<45); além disso, para v\ge45 a função é constante -7, logo v_1 não é solução válida para W(v)=0.
  • v_2\approx25,16 está dentro de 4<v<45, portanto é a solução válida.
Conclusão: a velocidade do vento que dá W(v)=0^\circ\mathrm{F} (com T=30^\circ\mathrm{F}) é aproximadamente v\approx25,16 milhas/h.

Passo 7

Análise de continuidade (parte (c)). Lembrança rápida: uma função é contínua num ponto v_0 se o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função em v_0 existem e são iguais.
  • Para v estritamente dentro de cada ramo (por exemplo 0<v<4, 4<v<45, v>45), as expressões usadas são funções combinações de constantes, polinômios e \sqrt{v}, que são contínuas nesses intervalos; logo W é contínua em todos os pontos internos de cada ramo.
  • Pontos críticos a verificar: as fronteiras v=4 e v=45.
Verifico v=4:
  • Valor à esquerda e valor da função em v=4 (primeiro ramo): W(4)=T=30^\circ\mathrm{F}.
  • Limite à direita (usar a fórmula do meio com v\to4^+; posso avaliar a expressão no v=4 porque a fórmula é contínua até o limite):
W(4^+)=91,4+61,4\bigl(0,0203\cdot4-0,304\sqrt{4}-0,474\bigr).
Calculo:
0,0203\cdot4=0,0812,\qquad \sqrt{4}=2,\qquad 0,304\cdot2=0,608.
0,0812-0,608-0,474=-1,0008.
61,4\cdot(-1,0008)\approx-61,4491,\qquad 91,4-61,4491\approx29,9509.
Portanto W(4^+)\approx29,9509^\circ\mathrm{F}, que difere de W(4)=30^\circ\mathrm{F}. Logo há uma descontinuidade (salto muito pequeno) em v=4.
Verifico v=45:
  • Limite à direita e valor da função em v=45 (terceiro ramo): para v\ge45, W(45)=1,6\cdot30-55=-7^\circ\mathrm{F}.
  • Limite à esquerda (usar fórmula do meio com v\to45^-; avalio em v=45):
W(45^-)=91,4+61,4\bigl(0,0203\cdot45-0,304\sqrt{45}-0,474\bigr).
Calculo aproximado:
0,0203\cdot45=0,9135,\qquad \sqrt{45}\approx6,7082,\qquad 0,304\cdot6,7082\approx2,0393,
0,9135-2,0393-0,474\approx-1,5998,
61,4\cdot(-1,5998)\approx-98,2273,\qquad 91,4-98,2273\approx-6,8273.
Portanto W(45^-)\approx-6,8273^\circ\mathrm{F}, que difere de W(45)= -7^\circ\mathrm{F}. Há, portanto, uma descontinuidade em v=45.
Conclusão sobre continuidade: W é contínua em todos os pontos internos dos três ramos, mas apresenta descontinuidades nas fronteiras v=4 e v=45. Em resumo: não, W não é contínua em todo o seu domínio; é descontínua em v=4 e v=45.

Resposta

(a) W(20)\approx 3,75^\circ\mathrm{F},\quad W(50)=-7^\circ\mathrm{F}.
(b) v\approx 25,16 milhas/h.
(c) W não é contínua em v=4 nem em v=45; é contínua em todos os outros pontos do domínio.

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