(a) Suponha que os três dígitos 1,2 e 3 sejam escritos em ordem aleatória. Qual a probabilidade de que ao menos um digito ocupe seu lugar próprio?
(b) O mesmo que em (a), com os dígitos
e 4.
© O mesmo que em (a), com os dígitos
.
Sugestão: Empregue (1.7).
(d) Examine a resposta a ©, quando
for grande.
(b) O mesmo que em (a), com os dígitos
© O mesmo que em (a), com os dígitos
(d) Examine a resposta a ©, quando
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente embaralhar os dígitos 1,2,3 (depois com 4 e em geral com n) e achar a probabilidade de “pelo menos um dígito ficar no lugar certo” — é um problema de permutações e derangements (permutação sem ponto fixo). Vamos usar a fórmula (1.7) de derangements:
que conta quantas permutações de n objetos não deixam nenhum no lugar original. A prob. de ao menos um ponto fixo é
Passo 2
Parte (a): n=3.
- Total de permutações:
. - Número de derangements:
3) Então “pelo menos um no lugar” =
4) Logo a probabilidade é
Passo 3
Parte (b): n=4.
- Total:
. - Derangements:
- Casos com ≥1 fixo:
. - Probabilidade:
Passo 4
Parte ©: geral com n dígitos.
- Total de permutações:
. - Derangements:
- Então a prob. de pelo menos um ponto fixo é
$$P_n = 1 - \frac{!n}{n!}
= 1 - \sum_{k=0}n\frac{(-1)k}{k!}
= \sum_{k=1}n\frac{(-1){,k-1}}{k!}.$$
Passo 5
Parte (d): comportamento quando
.
A soma infinita converge a
.
Então
A soma infinita
Então
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)