(a) Suponha que os três dígitos 1,2 e 3 sejam escritos em ordem aleatória. Qual a probabilidade de que ao menos um digito ocupe seu lugar próprio?
(b) O mesmo que em (a), com os dígitos 1,2,3 e 4.
© O mesmo que em (a), com os dígitos 1,2,3, ldots, n.
Sugestão: Empregue (1.7).
(d) Examine a resposta a ©, quando n for grande.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente embaralhar os dígitos 1,2,3 (depois com 4 e em geral com n) e achar a probabilidade de “pelo menos um dígito ficar no lugar certo” — é um problema de permutações e derangements (permutação sem ponto fixo). Vamos usar a fórmula (1.7) de derangements:
!n ;=; n!sumk=0^n(-1)^kk!,
que conta quantas permutações de n objetos não deixam nenhum no lugar original. A prob. de ao menos um ponto fixo é
1 - !nn!

Passo 2

Parte (a): n=3.
  1. Total de permutações: 3! = 6.
  2. Número de derangements:
!3 = 3!l(1 - 1 + tfrac12 - tfrac16r) = 6l(tfrac12 - tfrac16r) = 6cdottfrac13 = 2
3) Então “pelo menos um no lugar” = 6 - 2 = 4 casos.
4) Logo a probabilidade é
46 = 23

Passo 3

Parte (b): n=4.
  1. Total: 4! = 24.
  2. Derangements:
!4 = 4!l(1 - 1 + tfrac12 - tfrac16 + tfrac124r) = 24l(tfrac12 - tfrac16 + tfrac124r) = 24cdot0,375 = 9
  1. Casos com ≥1 fixo: 24 - 9 = 15.
  2. Probabilidade:
1524 = 58

Passo 4

Parte ©: geral com n dígitos.
  • Total de permutações: n!.
  • Derangements:
!n = n!sumk=0^n(-1)^kk!
- Então a prob. de pelo menos um ponto fixo é
$$P_n = 1 - \frac{!n}{n!}
= 1 - \sum_{k=0}n\frac{(-1)k}{k!}
= \sum_{k=1}n\frac{(-1){,k-1}}{k!}.$$

Passo 5

Parte (d): comportamento quando ntoinfty.
A soma infinita sumk=0^infty(-1)^kk! converge a e^-1.
Então
limntoinftyPn = 1 - e^-1approx 1 - 0,3679 = 0,6321

Resposta

(a) 2/3
(b) 5/8
© Pn = 1 - sumk=0^n(-1)^kk!
(d) limntoinftyPn = 1 - e^-1approx0,6321

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