Um protótipo de automóvel é projetado para o clima frio de Denver, Colorado ( -10^{\circ} \mathrm{C}, 83 \mathrm{kPa} ). Sua força de arrasto será testada em um modelo em escala 1 / 7 dentro de um túnel de vento a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . Se o modelo e o protótipo apresentarem similaridade dinâmica, qual velocidade do protótipo, em milhas por hora, é compatível? Comente o resultado.

Passo 1

O enunciado diz que temos um carro “protótipo” operando em Denver (temperatura de -10^\circ\mathrm C, pressão de 83\\ \mathrm{kPa}) e um modelo geométrico de razão de escala 1/7 que será testado em tú-nel de vento ao nível do mar ( 20^\circ\mathrm C, 1\\ \mathrm{atm}). Queremos que modelo e protótipo tenham similaridade dinâmica, isto é, igual número de Reynolds. Vamos então escrever os Re de cada um e igualá-los para relacionar as velocidades.

Passo 2

O número de Reynolds é definido por
Re = \frac{\rho\,U\,L}{\mu},
onde \rho é a densidade do ar, U a velocidade, L uma dimensão característica (comprimento) e \mu a viscosidade dinâmica. Chamando índices “ \mathrm m” para o modelo e “ \mathrm p” para o protótipo, temos
Re_{\mathrm m} =\frac{\rho_{\mathrm m}\,U_{\mathrm m}\,L_{\mathrm m}}{\mu_{\mathrm m}}, \quad Re_{\mathrm p} =\frac{\rho_{\mathrm p}\,U_{\mathrm p}\,L_{\mathrm p}}{\mu_{\mathrm p}}.
A razão de escala dá L_{\mathrm m}=L_{\mathrm p}/7.

Passo 3

Igualando os Reynolds para garantir similaridade dinâmica,
\frac{\rho_{\mathrm m}\,U_{\mathrm m}\,(L_{\mathrm p}/7)}{\mu_{\mathrm m}} = \frac{\rho_{\mathrm p}\,U_{\mathrm p}\,L_{\mathrm p}}{\mu_{\mathrm p}}.
Cancelando L_{\mathrm p} e isolando a razão das velocidades,
U_{\mathrm m} =7\; \frac{\rho_{\mathrm p}}{\rho_{\mathrm m}} \;\frac{\mu_{\mathrm m}}{\mu_{\mathrm p}} \;U_{\mathrm p}.

Passo 4

Precisamos de \rho e \mu nas condições do modelo e do protótipo.
1. Densidades pelo gás ideal \rho=p/(R\,T):
  • Protótipo: p_{\mathrm p}=83\,000\\ \mathrm{Pa}, \quad T_{\mathrm p}=263\\ \mathrm K \\ \Longrightarrow\\ \rho_{\mathrm p}\approx1{,}10\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Modelo: p_{\mathrm m}=101{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}, \quad T_{\mathrm m}=293\\ \mathrm K \\ \Longrightarrow\\ \rho_{\mathrm m}\approx1{,}20\\ \mathrm{kg/m^3}.
2. Viscosidades pela lei de Sutherland:
  • Protótipo \mu_{\mathrm p}\approx1{,}67\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Modelo \mu_{\mathrm m}\approx1{,}81\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
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\frac{\rho_{\mathrm p}}{\rho_{\mathrm m}} \approx0{,}917, \qquad \frac{\mu_{\mathrm m}}{\mu_{\mathrm p}} \approx1{,}085,
\frac{\rho_{\mathrm p}}{\rho_{\mathrm m}}\;\frac{\mu_{\mathrm m}}{\mu_{\mathrm p}} \approx0{,}917\times1{,}085\approx0{,}995\approx1.

Passo 5

Substituindo em
U_{\mathrm m} =7\;\bigl(0{,}995\bigr)\;U_{\mathrm p} \approx6{,}96\,U_{\mathrm p}.
Ou seja, para manter Re igual, o modelo deve rodar a quase 7 vezes a velocidade do protótipo.

Passo 6

Em túneis de vento convencionais a máxima velocidade prática é da ordem de 100\\ \mathrm{m/s} ( \approx 223 mph). Supondo que o modelo alcance esse valor, obtemos para o protótipo
U_{\mathrm p} =\frac{U_{\mathrm m}}{6{,}96} \approx\frac{100\\ \mathrm{m/s}}{6{,}96} \approx14{,}4\\ \mathrm{m/s} \approx51{,}8\\ \mathrm{km/h} \approx32{,}2\\ \mathrm{mph}.

Passo 7

Comentário do resultado:
– Para simular um carro andando a 32\\ \mathrm{mph} ( \approx 50 km/h), o túnel precisaria pôr o modelo 1/ 7 a quase 100\\ \mathrm{m/s}.
– Para velocidades reais de estrada ( 60 100\\ \mathrm{mph}) seria necessário um túnel que empurre o modelo a velocidades de 400 700 mph, o que é impraticável.
– Conclusão: ao nível do mar e escala 1/7, não se consegue igualar o número de Reynolds para velocidades de cruzeiro de automóvel, tornando a similitude estritamente difícil de atingir sem pressurização do túnel ou outras medidas.

Resposta

A relação de Reynolds exige
U_{\mathrm m}\approx6{,}96\,U_{\mathrm p}.
Com um túnel máximo de 100\\ \mathrm{m/s}, o protótipo simulado corresponderia a cerca de 32 mph, valor muito baixo para velocidades de estrada.

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