Suponha que
é um conjunto universo. Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesse exercício, estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, especialmente com as operações de diferença, união e interseção. Precisamos provar que a união das diferenças entre $ A $ e $ B $ e entre $ B $ e $ A $ é igual à diferença entre a união de $ A $ e $ B $ e a interseção deles. Em outras palavras, vamos mostrar que:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada operação significa:
- Diferença de conjuntos ($ A - B $) contém os elementos que estão em $ A $ mas não em $ B $.
- União de conjuntos ($ A \cup B $) contém todos os elementos que estão em $ A $ ou em $ B $ ou em ambos.
- Interseção de conjuntos ($ A \cap B $) contém apenas os elementos que estão em ambos $ A $ e $ B $.
Passo 3
Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
Isso representa todos os elementos que estão em $ A $ mas não em $ B $, ou em $ B $ mas não em $ A $. Basicamente, são os elementos que apenas estão em um dos conjuntos, mas não em ambos ao mesmo tempo.
Passo 4
Agora, vamos analisar o lado direito da igualdade:
Aqui, primeiro fazemos a união de $ A $ e $ B
A \cap B $), ou seja, removemos os elementos que estão em ambos $ A $ e $ B $. Assim, o que sobra são os elementos que estão apenas em $ A $ ou apenas em $ B $.
Passo 5
Observando os dois lados, vemos que ambos representam os mesmos elementos:
- No lado esquerdo, são os elementos que estão apenas em um dos conjuntos.
- No lado direito, após a subtração, também ficam apenas os elementos que estão em um dos conjuntos, excluindo os que estão em ambos.
Passo 6
Portanto, concluímos que:
Resposta
A igualdade está correta, pois
é igual a
.