Suponha que U é um conjunto universo. Mostre que:
(A-B) cup(B-A)=(A cup B)-(A cap B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, especialmente com as operações de diferença, união e interseção. Precisamos provar que a união das diferenças entre $ A $ e $ B $ e entre $ B $ e $ A $ é igual à diferença entre a união de $ A $ e $ B $ e a interseção deles. Em outras palavras, vamos mostrar que:
A

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada operação significa:
  • Diferença de conjuntos ($ A - B $) contém os elementos que estão em $ A $ mas não em $ B $.
  • União de conjuntos ($ A \cup B $) contém todos os elementos que estão em $ A $ ou em $ B $ ou em ambos.
  • Interseção de conjuntos ($ A \cap B $) contém apenas os elementos que estão em ambos $ A $ e $ B $.

Passo 3

Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
(A - B) cup (B - A)
Isso representa todos os elementos que estão em $ A $ mas não em $ B $, ou em $ B $ mas não em $ A $. Basicamente, são os elementos que apenas estão em um dos conjuntos, mas não em ambos ao mesmo tempo.

Passo 4

Agora, vamos analisar o lado direito da igualdade:
(A cup B) - (A cap B)
Aqui, primeiro fazemos a união de $ A $ e $ B A ãíçã A \cap B $), ou seja, removemos os elementos que estão em ambos $ A $ e $ B $. Assim, o que sobra são os elementos que estão apenas em $ A $ ou apenas em $ B $.

Passo 5

Observando os dois lados, vemos que ambos representam os mesmos elementos:
  • No lado esquerdo, são os elementos que estão apenas em um dos conjuntos.
  • No lado direito, após a subtração, também ficam apenas os elementos que estão em um dos conjuntos, excluindo os que estão em ambos.

Passo 6

Portanto, concluímos que:
(A - B) cup (B - A) = (A cup B) - (A cap B)

Resposta

A igualdade está correta, pois (A - B) cup (B - A) é igual a (A cup B) - (A cap B).

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