Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
(k) sumn=4^infty 2(n-2)(n-1) n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série sumn=4^infty 2(n-2)(n-1)n, identificar se é telescópica ou geométrica, e, em caso de convergir, calcular sua soma. Vamos usar o método de frações parciais e o fato de que séries telescópicas se simplificam drasticamente.

Passo 2

Para decompor o termo geral em frações parciais, escrevemos
2(n-2)(n-1)n = An-2 + Bn-1 + Cn
Multiplicando ambos os lados por (n-2)(n-1)n e comparando coeficientes, obtemos o sistema
A + B + C = 0, - A - 2B - 3C = 0, 2C = 2
Da última equação vem C=1. Substituindo, achamos B=-2 e A=1. Logo
$$
\frac{2}{(n-2)(n-1)n} = \frac{1}{n-2} - \frac{2}{n-1} + \frac{1}{n}.$$

Passo 3

Agora calculamos a soma parcial SN=sumn=4^N l(tfrac1n-2-tfrac2n-1+tfrac1nr). Separe em três somas:
sumn=4^N1n-2=sumk=2^N-21k,
-2sumn=4^N1n-1=-2sumk=3^N-11k,
sumn=4^N1n=sumk=4^N1k
Reescrevendo em termos dos números harmônicos Hm=sumk=1^mtfrac1k e juntando tudo, chegamos a
$$
S_N = H_N - 2H_{N-1} + H_{N-2} + \frac{1}{6}.$$

Passo 4

Para ver o telescópio, usamos as relações
HN = HN-1 + 1N,
HN-1 = HN-2 + 1N-1
Substituindo, obtém-se
HN - 2HN-1 + HN-2 = -1N-1 + 1N = -1N(N-1)
Então
$$
S_N = -\frac{1}{N(N-1)} + \frac{1}{6}.$$

Passo 5

Ao fazer Ntoinfty, o termo -1/[N(N-1)] vai a zero. Portanto a série converge e sua soma é
16

Exercícios relacionados