(1,5 pts) Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R^3.
U=(x, y, z) ; x-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede um sistema de geradores para o subespaço
U = (x,y,z)in R^3 mid x - 3y = 0
O conteúdo aqui é caracterizar um subespaço dado por uma equação linear e depois determinar vetores que gerem esse subespaço.

Passo 2

Como todo vetor (x,y,z) de U satisfaz ,x-3y=0, podemos escrever
x = 3y
Isso mostra que y e z são livres (parâmetros).

Passo 3

Definimos parâmetros
s = y, t = z
Então
(x,y,z) = (3y,y,z) = (3s,,s,,t)

Passo 4

Reescrevendo (3s,s,t) como combinação linear de vetores fixos, temos
(3s,s,t) = s,(3,1,0) ;+; t,(0,0,1)
Isso mostra que todo vetor de U é combinação linear de (3,1,0) e (0,0,1).

Resposta

Um sistema de geradores para U é
(3,1,0),,(0,0,1)

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