Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
Psi(x, 0)=A e^-a|x|
em que A e a são constantes reais positivas.
Monte Psi(x, t) na forma de uma integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a função de onda Psi(x, t) de uma partícula livre que tem, inicialmente, a função de onda Psi(x, 0) = A e^-a|x|. Estamos lidando com a matéria de mecânica quântica, especificamente com a evolução temporal da função de onda. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da evolução temporal para partículas livres, que envolve uma integral usando a transformada de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a função de onda evolui no tempo para uma partícula livre. Em mecânica quântica, a evolução temporal de Psi(x, t) pode ser obtida aplicando o operador de evolução temporal à função de onda inicial Psi(x, 0). Para partículas livres, isso geralmente envolve a integração sobre os modos de momento.
A fórmula geral para a evolução de Psi(x, t) é:
Psi(x, t) = integral-infty^infty phi(k) e^i(kx - omega t) dk
onde phi(k) é a transformada de Fourier da função de onda inicial, k é o número de onda, e omega é a frequência angular relacionada à energia do estado com momento k.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de Fourier phi(k) da função de onda inicial Psi(x, 0) = A e^-a|x|. A transformada de Fourier é dada por:
phi(k) = 1raiz2pi integral-infty^infty Psi(x, 0) e^-ikx dx
Substituindo Psi(x, 0) na integral:
phi(k) = Araiz2pi integral-infty^infty e^-a|x| e^-ikx dx

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Note que e^-a|x| é uma função par, ou seja, ela é simétrica em relação a x=0. Podemos dividir a integral em duas partes, de -infty a 0 e de 0 a infty:
phi(k) = Araiz2pi ( integral-infty^0 e^a x e^-ikx dx + integral0^infty e^-a x e^-ikx dx )
Simplificando os expoentes:
phi(k) = Araiz2pi ( integral-infty^0 e^(a - ik)x dx + integral0^infty e^-(a + ik)x dx )

Passo 5

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Para a primeira integral:
integral-infty^0 e^(a - ik)x dx = 1a - ik
Para a segunda integral:
integral0^infty e^-(a + ik)x dx = 1a + ik
Portanto, temos:
phi(k) = Araiz2pi ( 1a - ik + 1a + ik )

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para phi(k):
phi(k) = Araiz2pi ( a + ik + a - ika^2 + k^2 ) = Araiz2pi ( 2aa^2 + k^2 ) = 2aAraiz2pi(a^2 + k^2)

Passo 7

Agora, voltamos à expressão da evolução temporal da função de onda:
Psi(x, t) = integral-infty^infty phi(k) e^i(kx - omega t) dk
Para uma partícula livre, a relação entre omega e k é dada por:
omega = hbar k^22m
onde hbar é a constante de Planck reduzida e m é a massa da partícula.
Substituindo phi(k) na integral:
Psi(x, t) = 2aAraiz2pi integral-infty^infty e^i(kx - hbar k^22m t)a^2 + k^2 dk

Resposta

Portanto, a função de onda Psi(x, t) na forma de uma integral é:
Psi(x, t) = 2aAraiz2pi integral-infty^infty e^i(kx - hbar k^22m t)a^2 + k^2 dk

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