Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
em que
e
são constantes reais positivas.
Monte
na forma de uma integral.
Monte
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a função de onda
de uma partícula livre que tem, inicialmente, a função de onda
. Estamos lidando com a matéria de mecânica quântica, especificamente com a evolução temporal da função de onda. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da evolução temporal para partículas livres, que envolve uma integral usando a transformada de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a função de onda evolui no tempo para uma partícula livre. Em mecânica quântica, a evolução temporal de
pode ser obtida aplicando o operador de evolução temporal à função de onda inicial
. Para partículas livres, isso geralmente envolve a integração sobre os modos de momento.
A fórmula geral para a evolução de
é:
onde
é a transformada de Fourier da função de onda inicial,
é o número de onda, e
é a frequência angular relacionada à energia do estado com momento
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de Fourier
da função de onda inicial
. A transformada de Fourier é dada por:
Substituindo
na integral:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Note que
é uma função par, ou seja, ela é simétrica em relação a
. Podemos dividir a integral em duas partes, de
a
e de
a
:
Simplificando os expoentes:
Passo 5
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Portanto, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão para
:
Passo 7
Agora, voltamos à expressão da evolução temporal da função de onda:
Para uma partícula livre, a relação entre
e
é dada por:
onde
é a constante de Planck reduzida e
é a massa da partícula.
Substituindo
na integral:
Resposta
Portanto, a função de onda
na forma de uma integral é: