Suponha que o vão de uma porta em construção deve ser utilizada por pessoas que têm altura normalmente distribuída com média 1,8 m e desvio padrão 8 cm .
(a) Qual é a altura do vão da porta, para que 2 \% das pessoas que passem por ele abaixem-se, evitando assim, bater com a cabeça no mesmo?
(b) Se o vão da porta for construído com 1,86 m de altura, dentre 1000 pessoas, quantas passariam, em média, pela porta sem se curvar?

Passo 1

O enunciado diz que a altura das pessoas segue uma distribuição normal com média \mu=1,8 m e desvio padrão \sigma=0,08 m. Precisamos usar propriedades da distribuição normal para:
– (a) encontrar a altura do vão para que 2\% das pessoas sejam mais altas (e precisem se curvar);
– (b) calcular, num vão de 1,86 m, quantas pessoas, em média, não precisariam curvar.

Passo 2

Para (a), queremos a altura H tal que
P(X>H)=0,02,
onde X\sim N(\mu,\sigma^2). Isso equivale a
P(X\le H)=0,98,
isto é, H é o quantil de ordem 0,98 da normal. Usamos
H=\mu+z_{0,98}\,\sigma,
sendo z_{0,98} o valor para o qual \Phi(z_{0,98})=0,98.

Passo 3

Das tabelas da normal padrão, z_{0,98}\approx2,0537. Então
H=1,8 + 2,0537\times0,08 \approx 1,8 + 0,1643 \approx 1,9643\text{ m}.
Logo, o vão deve ter cerca de 1,964 m de altura.

Passo 4

Para (b), com vão de 1,86 m, calculamos
P(X\le1,86)=\Phi\!\Bigl(\frac{1,86-1,8}{0,08}\Bigr)=\Phi(0,75)\approx0,7734.
Em 1000 pessoas, isso corresponde a
1000 \times 0,7734 \approx 773{,}4,
ou seja, cerca de 773 pessoas não precisariam se curvar.

Resposta

(a) H\approx1,964,m.
(b) Aproximadamente 773 pessoas passariam sem se curvar.

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