Um engenheiro mecânico está testando rolamentos de motores industriais. Acredita-se que um novo tipo de lubrificante utilizado aumente a vida útil média dos rolamentos. A vida útil média dos rolamentos com o lubrificante atual é de 1200 horas. Uma amostra aleatória de 10 rolamentos com o novo lubrificante apresentou uma vida média \bar{I}=1276,5 e um desvio-padrão A=20,21. Assumindo que a vida útil tem distribuição normal, ao nível de significância de 5 \%, pode-se dizer que o novo lubrificante aumenta a vida útil dos rolamentos?

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipóteses para a média da vida útil \mu de rolamentos com novo lubrificante, assumindo distribuição normal e variância desconhecida. Temos uma amostra de tamanho n=10 com média \bar{I}=1276,5 horas e desvio-padrão amostral A=20,21. Queremos, ao nível de significância de 5\%, verificar se o novo lubrificante aumenta a vida útil média, comparando com o valor atual de 1200 horas.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0: \mu = 1200
H_1: \mu > 1200
Trata-se de um teste unilateral à direita com graus de liberdade \nu = n-1 = 9.

Passo 3

Calculamos a estatística de teste t usando
t = \frac{\bar{I} - \mu_0}{A/\sqrt{n}}
Substituindo os valores:
A/\sqrt{n} = \frac{20,21}{\sqrt{10}} \approx 6,395
t = \frac{1276,5 - 1200}{6,395} \approx \frac{76,5}{6,395} \approx 11,96

Passo 4

O valor crítico para t com \nu=9 e \alpha=0,05 (unilateral) é
t_{9,\,0,95} \approx 1,833
A regra de decisão é rejeitar H_0 se t > 1,833.

Passo 5

Como o valor observado t \approx 11,96 é muito maior que 1,833, rejeitamos H_0. Há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a média de vida útil com o novo lubrificante é maior que 1200 horas.

Resposta

Sim. O teste indicou t \approx 11,96 > 1,833, logo rejeitamos H_0 e concluímos que o novo lubrificante aumenta a vida útil média dos rolamentos.

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