O intervalo (344,69 ; 347,31), com confiança de 95 \%, foi construído a partir de uma amostra de tamanho 20, para a média \mu de uma população Normal com desvio padrão igual a 3.
a) Qual o valor encontrado para a média dessa amostra?
b) Se utilizássemos essa mesma amostra, mas uma confiança de 90 \%, qual seria o novo intervalo de confiança?

Passo 1

O enunciado nos dá um intervalo de confiança de 95\% para a média \mu de uma população Normal com desvio padrão conhecido \sigma=3 e amostra de tamanho n=20. Esse intervalo é
(344,69;\;347,31)
Pede-se:
a) a média amostral obtida;
b) o novo intervalo de confiança para 90\%, usando a mesma amostra.

Passo 2

A teoria diz que, quando \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para \mu é dado por
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
No caso de 95\% de confiança, \alpha=0,05 e z_{0,025}=1,96. O ponto central desse intervalo é justamente a média amostral \bar x.

Passo 3

Para encontrar \bar x basta calcular o ponto médio entre os limites:
\bar x = \frac{344,69 + 347,31}{2} = \frac{692,00}{2} = 346

Passo 4

Agora, para um intervalo de confiança de 90\%, temos \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05, de onde
z_{0,05}=1,645.
O novo intervalo será
\bar x \pm z_{0,05}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Passo 5

Substituindo \bar x=346, \sigma=3 e n=20:
\text{margem} = 1,645 \times \frac{3}{\sqrt{20}}\approx 1,645 \times 0,6708 \approx 1,10
Portanto, o intervalo de 90\% é
(346 - 1,10;\;346 + 1,10) = (344,90;\;347,10).

Resposta

a) \bar x = 346
b) Intervalo de 90\%: (344,90;\;347,10)

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