(*) Suponha que a variável aleatória bidimensional ( X, Y ) tem função densidade conjunta dada por:
f_{X, Y}(x, y)=k \exp \{-y\} I_{(0,1)}(x) I_{(x, 1)}(y)
(a) Ache o valor de k;
(b) Calcule \operatorname{Var}(X) e \operatorname{Var}(Y).

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)=k\,e^{-y}\,I_{(0,1)}(x)\,I_{(x,1)}(y)
e pede (a) o valor de k e (b) \operatorname{Var}(X) e \operatorname{Var}(Y).
Vamos usar:
  1. A condição de normalização \iint f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy=1 para achar k.
  2. As marginais f_X(x) e f_Y(y).
  3. As fórmulas
E[Z]=\int z\,f_Z(z)\,dz,\quad E[Z^2]=\int z^2\,f_Z(z)\,dz,\quad \operatorname{Var}(Z)=E[Z^2]-\bigl(E[Z]\bigr)^2.

Passo 2

Aplicamos a normalização:
1 = \int_{x=0}^{1}\int_{y=x}^{1} k\,e^{-y}\,dy\,dx.
Primeiro a integral em y:
\int_{y=x}^{1} e^{-y}\,dy = e^{-x} - e^{-1}.
Depois em x:
\int_{0}^{1}\bigl(e^{-x}-e^{-1}\bigr)\,dx = \bigl[ -e^{-x}\bigr]_{0}^{1} - e^{-1}\cdot1 = (1 - e^{-1}) - e^{-1} =1 - 2e^{-1}.
Logo
1 = k\,(1 - 2e^{-1}) \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{1}{1 - 2e^{-1}}.

Passo 3

Marginal de X:
f_X(x) = \int_{y=x}^{1} k\,e^{-y}\,dy = k\bigl(e^{-x}-e^{-1}\bigr), \quad 0<x<1.
Calculemos
E[X] = \int_{0}^{1} x\,f_X(x)\,dx = k\Bigl(\int_{0}^{1} x e^{-x}\,dx - e^{-1}\int_{0}^{1} x\,dx\Bigr).
Sabendo que
\int_{0}^{1} x e^{-x}\,dx = 1 - 2e^{-1}, \quad \int_{0}^{1} x\,dx = \tfrac12,
vem
E[X] = k\bigl(1 - 2e^{-1} - \tfrac12 e^{-1}\bigr) = \frac{1 - \tfrac52 e^{-1}}{1 - 2e^{-1}}.
Agora
E[X^2] = \int_{0}^{1} x^2 f_X(x)\,dx = k\Bigl(\int_{0}^{1} x^2 e^{-x}\,dx - e^{-1}\int_{0}^{1} x^2\,dx\Bigr).
E com
\int_{0}^{1} x^2 e^{-x}\,dx = 2 - 5e^{-1}, \quad \int_{0}^{1} x^2\,dx = \tfrac13,
segue
E[X^2] = k\bigl(2 - 5e^{-1} - \tfrac13 e^{-1}\bigr) = \frac{2 - \tfrac{16}{3}e^{-1}}{1 - 2e^{-1}}.

Passo 4

Finalmente
\operatorname{Var}(X) = E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2 = \frac{2 - \tfrac{16}{3}e^{-1}}{1 - 2e^{-1}} - \Bigl(\frac{1 - \tfrac52 e^{-1}}{1 - 2e^{-1}}\Bigr)^{2}.

Passo 5

Marginal de Y: para 0<y<1 temos x de 0 a y, logo
f_Y(y) = \int_{0}^{y} k\,e^{-y}\,dx = k\,y\,e^{-y}.
Calculemos
E[Y] = \int_{0}^{1} y\,f_Y(y)\,dy = k\int_{0}^{1} y^2 e^{-y}\,dy = k\,(2 - 5e^{-1}) = \frac{2 - 5e^{-1}}{1 - 2e^{-1}}.
E
E[Y^2] = k\int_{0}^{1} y^3 e^{-y}\,dy = k\,(6 - 16e^{-1}) = \frac{6 - 16e^{-1}}{1 - 2e^{-1}}.

Passo 6

Finalmente
\operatorname{Var}(Y) = E[Y^2] - \bigl(E[Y]\bigr)^{2} = \frac{6 - 16e^{-1}}{1 - 2e^{-1}} - \Bigl(\frac{2 - 5e^{-1}}{1 - 2e^{-1}}\Bigr)^{2}.

Resposta

(a) k = \displaystyle\frac{1}{1 - 2e^{-1}}.
(b)
\operatorname{Var}(X) = \frac{2 - \tfrac{16}{3}e^{-1}}{1 - 2e^{-1}} - \Bigl(\frac{1 - \tfrac52 e^{-1}}{1 - 2e^{-1}}\Bigr)^{2}, \qquad \operatorname{Var}(Y) = \frac{6 - 16e^{-1}}{1 - 2e^{-1}} - \Bigl(\frac{2 - 5e^{-1}}{1 - 2e^{-1}}\Bigr)^{2}.

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