(*) Suponha que a variável aleatória bidimensional ( X, Y ) tem função densidade conjunta dada por:
f_{X, Y}(x, y)=k x(x-y) I_{(0,2)}(x) I_{(-x, x)}(y)
(a) Determine o valor de k;
(b) Ache a marginal de X e Y.
(c) Obtenha \operatorname{Var}(X) e \operatorname{Var}(Y).

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória bidimensional (X,Y) com densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)=k\,x\,(x-y)\,I_{(0,2)}(x)\,I_{(-x,x)}(y).
Queremos (a) normalizar para achar k, (b) obter as densidades marginais f_X e f_Y, e (c) calcular \mathrm{Var}(X) e \mathrm{Var}(Y).

Passo 2

Para achar k impomos
\iint_{\mathbb R^2}f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx = \int_{x=0}^{2}\int_{y=-x}^{x}k\,x\,(x-y)\,dy\,dx =1.
Primeiro a integral interna:
\int_{-x}^{x}(x-y)\,dy = \int_{-x}^{x}x\,dy - \int_{-x}^{x}y\,dy = x\cdot(2x)-\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{-x}^{x} =2x^2.
Logo
1 = k\int_{0}^{2}x\bigl(2x^2\bigr)dx =2k\int_{0}^{2}x^3\,dx =2k\cdot\frac{2^4}{4} =8k \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{8}.

Passo 3

Marginal de X:
f_X(x)=\int_{-x}^{x}f_{X,Y}(x,y)\,dy =\frac{1}{8}\,x\int_{-x}^{x}(x-y)\,dy =\frac{1}{8}\,x\cdot2x^2 =\frac{x^3}{4},\quad 0<x<2.

Passo 4

Marginal de Y: para -2<y<2 temos x\in[|y|,2], logo
f_Y(y) =\int_{x=|y|}^{2}\frac{1}{8}\,x\,(x-y)\,dx =\frac{1}{8}\int_{|y|}^{2}(x^2 -xy)\,x^0\,dx.
Calculando
\int(x^2-xy)\,dx =\frac{x^3}{3}-\frac{x^2y}{2},
então
f_Y(y) =\frac{1}{8}\Bigl[\bigl(\tfrac{8}{3}-2y\bigr) -\bigl(\tfrac{|y|^3}{3}-\tfrac{y\,|y|^2}{2}\bigr)\Bigr], \quad -2<y<2.

Passo 5

\mathrm{Var}(X): usando f_X(x)=x^3/4 em (0,2),
E(X)=\int_{0}^{2}x\frac{x^3}{4}dx =\frac{1}{4}\,\frac{2^5}{5} =\frac{8}{5}, \quad E(X^2)=\int_{0}^{2}x^2\frac{x^3}{4}dx =\frac{1}{4}\,\frac{2^6}{6} =\frac{8}{3},
\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 =\frac{8}{3}-\Bigl(\frac{8}{5}\Bigr)^2 =\frac{8}{3}-\frac{64}{25} =\frac{8}{75}.

Passo 6

\mathrm{Var}(Y): diretamente pela conjunta,
E(Y) =\iint y\,f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx =-\frac{8}{15}, \quad E(Y^2) =\iint y^2\,f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx =\frac{8}{9},
\mathrm{Var}(Y) =E(Y^2)-[E(Y)]^2 =\frac{8}{9}-\Bigl(-\frac{8}{15}\Bigr)^2 =\frac{8}{9}-\frac{64}{225} =\frac{136}{225}.

Resposta

(a) k=\frac{1}{8}.
(b) \displaystyle f_X(x)=\frac{x^3}{4}, 0<x<2. \displaystyle f_Y(y)=\frac{1}{8}\Bigl[\frac{8}{3}-2y-\frac{|y|^3}{3}+\frac{y\,|y|^2}{2}\Bigr], -2<y<2.
(c) \mathrm{Var}(X)=\frac{8}{75},\quad \mathrm{Var}(Y)=\frac{136}{225}.

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