Suponha que a variável aleatória bidimensional ( X, Y ) tenha a fdp conjunta
f(x, y)=x^{2}+\frac{x y}{3}, \quad \forall \quad 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 2
Calcule:
(b) P(X<Y).

Passo 1

O enunciado nos dá a fdp conjunta
f(x,y)=x^{2}+\frac{x\,y}{3},
válida para 0\le x\le1 e 0\le y\le2.
Queremos calcular
P(X<Y)=\iint_{x<y}f(x,y)\,dx\,dy,
ou seja, a probabilidade de a região D=\{(x,y)\mid0\le x<y,\;0\le x\le1,\;0\le y\le2\}.

Passo 2

Para montar a integral, note que, para cada y dado em [0,2], o x varia de 0 até \min\{y,1\}. Como \min\{y,1\}=y quando 0\le y\le1 e vale 1 quando 1<y\le2, quebramos em dois trechos:
P(X<Y)=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y}\Bigl(x^{2}+\tfrac{x\,y}{3}\Bigr)dx\,dy \;+\; \int_{y=1}^{2}\int_{x=0}^{1}\Bigl(x^{2}+\tfrac{x\,y}{3}\Bigr)dx\,dy.

Passo 3

Vamos calcular de modo geral
\int_{x=0}^{a}\Bigl(x^{2}+\tfrac{x\,y}{3}\Bigr)dx =\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}\,y}{6}\right]_{0}^{a} =\frac{a^{3}}{3}+\frac{a^{2}\,y}{6}.

Passo 4

No trecho y\in[0,1] usamos a=y, ficando o integrando em y:
\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{3}}{6} =\frac{y^{3}}{2}.
Logo
\int_{0}^{1}\!\Bigl(\tfrac{y^{3}}{2}\Bigr)dy =\frac{1}{2}\,\frac{y^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{8}.

Passo 5

No trecho y\in[1,2] usamos a=1, então o integrando vira
\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{2}\,y}{6} =\frac{1}{3}+\frac{y}{6}.
Calculamos
\int_{1}^{2}\Bigl(\tfrac{1}{3}+\tfrac{y}{6}\Bigr)dy =\frac{1}{3}(2-1) +\frac{1}{6}\,\frac{y^{2}}{2}\Big|_{1}^{2} =\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\,\frac{4-1}{2} =\frac{1}{3}+\frac{3}{12} =\frac{7}{12}.

Passo 6

Somando as duas partes:
P(X<Y)=\frac{1}{8}+\frac{7}{12} =\frac{3}{24}+\frac{14}{24} =\frac{17}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{24}

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