Suponha que a variável aleatória bidimensional ( X, Y ) tenha a fdp conjunta
f(x, y)=x^{2}+\frac{x y}{3}, \quad \forall \quad 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 2
Calcule:
(b) P(X<Y).
Passo 1
O enunciado nos dá a fdp conjunta
f(x,y)=x^{2}+\frac{x\,y}{3},
válida para 0\le x\le1 e 0\le y\le2.
Queremos calcular
P(X<Y)=\iint_{x<y}f(x,y)\,dx\,dy,
ou seja, a probabilidade de a região D=\{(x,y)\mid0\le x<y,\;0\le x\le1,\;0\le y\le2\}.
Passo 2
Para montar a integral, note que, para cada y dado em [0,2], o x varia de 0 até \min\{y,1\}. Como \min\{y,1\}=y quando 0\le y\le1 e vale 1 quando 1<y\le2, quebramos em dois trechos: