Suponha que X seja uma variável aleatória uniformemente distribuída entre (2,4). Ache a função densidade de probabilidade para:
(b) Z=\exp (X).

Passo 1

O enunciado diz que X é uniformemente distribuída em (2,4), ou seja,
f_X(x)=\frac{1}{4-2}=\frac12,\quad2<x<4.
Queremos achar a densidade de Z=\exp(X). Para isso vamos usar a técnica de mudança de variável em variáveis contínuas.

Passo 2

Quando Z=g(X) é uma transformação monótona de X, a densidade de Z é dada por
f_Z(z)=f_X\bigl(g^{-1}(z)\bigr)\,\Bigl|\frac{d}{dz}g^{-1}(z)\Bigr|.
Aqui g(x)=e^x é crescente, logo g^{-1}(z)=\ln z.

Passo 3

Calculamos a derivada
\frac{d}{dz}g^{-1}(z)=\frac{d}{dz}\ln z=\frac{1}{z}.
Além disso, X\in(2,4) implica
Z=e^X\in\bigl(e^2,e^4\bigr).
Substituindo em f_Z:
f_Z(z) =f_X(\ln z)\,\frac{1}{z} =\frac12\cdot\frac{1}{z} =\frac{1}{2z}, \quad e^2<z<e^4,
e f_Z(z)=0 para outros valores de z.

Resposta

f_Z(z)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{2z}, & e^2<z<e^4,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á

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