Considere função f(x) definida implicitamente pela equação \operatorname{sen}(x+y)+\cos (y)+x=\frac{\pi}{2}. Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto de coordenadas \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).
Escolha uma opção:
a. 2
b. \pi
c. -1
d. 1
e. 0

Passo 1

O enunciado define implicitamente a função y=f(x) pela equação
\sin(x+y) + \cos(y) + x = \frac{\pi}{2},
e pede a inclinação da reta tangente, ou seja, \displaystyle y'=\frac{dy}{dx}, no ponto \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Para resolver, vamos usar diferenciação implícita e depois avaliar em \bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(x+y)\bigr] + \frac{d}{dx}\bigl[\cos(y)\bigr] + \frac{d}{dx}[x] = 0.

Passo 3

Calculando cada derivada:
\frac{d}{dx}[\sin(x+y)] = \cos(x+y)\,(1 + y'),
\frac{d}{dx}[\cos(y)] = -\sin(y)\,y',
\frac{d}{dx}[x] = 1.
Logo a equação diferencial fica
\cos(x+y)\,(1 + y') - \sin(y)\,y' + 1 = 0.
Reagrupando termos em y':
y'\bigl(\cos(x+y) - \sin(y)\bigr) + \cos(x+y) + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{\cos(x+y) + 1}{\cos(x+y) - \sin(y)}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=\tfrac{\pi}{2} e y=\tfrac{\pi}{2}. Note que x+y=\pi, logo \cos(x+y)=\cos(\pi)=-1 e \sin(y)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1. Assim,
\cos(x+y) + 1 = -1 + 1 = 0, \quad \cos(x+y) - \sin(y)= -1 - 1 = -2,
portanto
y' = -\frac{0}{-2} = 0.

Resposta

(e) 0

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