Suponha que X seja uma variável aleatória uniformemente distribuída entre (2,4). Ache a função densidade de probabilidade para:
(a) W=3 X+4.

Passo 1

O enunciado diz que X é uniforme em (2,4) e pede a densidade de W=3X+4.
Conteúdo: transformação linear de variável aleatória contínua. Vamos usar que, se W=g(X) e g é bijetora, então
f_W(w)=f_X\bigl(g^{-1}(w)\bigr)\,\left\lvert\frac{d}{dw}g^{-1}(w)\right\rvert.

Passo 2

Determinar o suporte (intervalo) de W. Como g(x)=3x+4 é crescente, temos
g(2)=3\cdot2+4=10,
g(4)=3\cdot4+4=16.
Logo W varia em (10,16).

Passo 3

Encontrar g^{-1} e sua derivada:
g^{-1}(w)=\frac{w-4}{3},
\frac{d}{dw}g^{-1}(w)=\frac{1}{3}.
E sabemos que, para x\in(2,4),
f_X(x)=\frac{1}{4-2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de mudança de variável, para w\in(10,16):
f_W(w) =f_X\bigl(g^{-1}(w)\bigr)\,\left\lvert\frac{d}{dw}g^{-1}(w)\right\rvert =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{6}.
Fora desse intervalo a densidade é zero.

Resposta

f_W(w)= \begin{cases} \frac{1}{6},&10<w<16,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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