Suponha que a variável aleatória bidimensional
tenha a fdp conjunta
Ache a fdp marginal de Y.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória bidimensional
com uma função de densidade de probabilidade (fdp) conjunta dada por:
Nosso objetivo é encontrar a função de densidade de probabilidade marginal de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender como calcular a fdp marginal a partir da fdp conjunta.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a fdp marginal de
é obtida integrando a fdp conjunta
em relação a
sobre todo o domínio possível. Matematicamente, isso é:
No nosso caso, como
fora de
e
, podemos ajustar os limites da integral.
Passo 3
Vamos encontrar os limites de integração para
em termos de
. Dado que
, podemos resolver para
:
- Para
: - Para
:
Então, a fdp marginal de
fica:
Passo 4
Antes de prosseguir com a integração, precisamos encontrar o valor de
. Para isso, lembramos que a integral da fdp conjunta sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Vamos resolver essa integral para achar
.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando a integral interna:
Avaliada de
a
:
Então, a integral dupla fica:
Igualando a 1:
Passo 6
Agora que temos
, podemos voltar à expressão da fdp marginal de
:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliada de
a 2:
Como
:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 9
Finalmente, combinando os termos de
:
Dependendo do valor de
:
- Se
, , então:
- Se
, , então:
Resposta
A função de densidade de probabilidade marginal de
é: