Suponha que a variável aleatória bidimensional (X, Y) tenha a fdp conjunta
f(x, y)=cc k x(x-y), & 0 <= x <= 2,-x <= y <= x 0, & caso contrário á
Ache a fdp marginal de Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória bidimensional (X, Y) com uma função de densidade de probabilidade (fdp) conjunta dada por:
f(x, y) = k cdot x(x - y), & 0 <= x <= 2, -x <= y <= x 0, & caso contrário á
Nosso objetivo é encontrar a função de densidade de probabilidade marginal de Y, ou seja, fY(y). Para isso, vamos precisar entender como calcular a fdp marginal a partir da fdp conjunta.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a fdp marginal de Y é obtida integrando a fdp conjunta f(x, y) em relação a x sobre todo o domínio possível. Matematicamente, isso é:
fY(y) = integral-infty^+infty f(x, y) , dx
No nosso caso, como f(x, y) = 0 fora de 0 <= x <= 2 e -x <= y <= x, podemos ajustar os limites da integral.

Passo 3

Vamos encontrar os limites de integração para x em termos de y. Dado que -x <= y <= x, podemos resolver para x:
  • Para y >= 0: y <= x <= 2
  • Para y < 0: -y <= x <= 2
Então, a fdp marginal de Y fica:
fY(y) = integral|y|^2 k cdot x(x - y) , dx

Passo 4

Antes de prosseguir com a integração, precisamos encontrar o valor de k. Para isso, lembramos que a integral da fdp conjunta sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
integral0^2 integral-x^x k cdot x(x - y) , dy , dx = 1
Vamos resolver essa integral para achar k.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a y:
integral-x^x x(x - y) , dy = x integral-x^x (x - y) , dy
Calculando a integral interna:
integral (x - y) , dy = x y - y^22
Avaliada de -x a x:
[ x(x) - x^22 ] - [ x(-x) - (-x)^22 ] = ( x^2 - x^22 ) - ( -x^2 - x^22 ) = x^22 + x^2 + x^22 = 2x^2
Então, a integral dupla fica:
k integral0^2 2x^2 , dx = 2k integral0^2 x^2 , dx = 2k [ x^33 ]0^2 = 2k ( 83 ) = 16k3
Igualando a 1:
16k3 = 1 implies k = 316

Passo 6

Agora que temos k = 316, podemos voltar à expressão da fdp marginal de Y:
fY(y) = integral|y|^2 316 cdot x(x - y) , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x(x - y) = x^2 - x y
Então:
fY(y) = 316 integral|y|^2 (x^2 - x y) , dx

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (x^2 - x y) , dx = integral x^2 , dx - y integral x , dx = x^33 - y cdot x^22
Avaliada de |y| a 2:
[ 2^33 - y cdot 2^22 ] - [ (|y|)^33 - y cdot (|y|)^22 ] = ( 83 - 2y ) - ( |y|^33 - y |y|^22 )
Como y |y|^2 = y^3:
= 83 - 2y - |y|^33 + y^32

Passo 8

Agora, juntando tudo:
fY(y) = 316 ( 83 - 2y - |y|^33 + y^32 )
Vamos simplificar cada termo:
= 316 cdot 83 - 316 cdot 2y - 316 cdot |y|^33 + 316 cdot y^32
= 816 - 6y16 - |y|^316 + 3y^332
= 12 - 3y8 - |y|^316 + 3y^332

Passo 9

Finalmente, combinando os termos de y^3:
- |y|^316 + 3y^332 = - 2|y|^332 + 3y^332 = -2|y|^3 + 3y^332
Dependendo do valor de y:
  • Se y >= 0, |y| = y, então:
-2y^3 + 3y^332 = y^332
  • Se y < 0, |y| = -y, então:
-2(-y)^3 + 3y^332 = 2y^3 + 3y^332 = 5y^332

Resposta

A função de densidade de probabilidade marginal de Y é:
fY(y) = 12 - 3y8 + y^332, & 0 <= y <= 2 12 - 3y8 + 5y^332, & -2 <= y < 0 0, & caso contrário á

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