Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeições: salada completa e um prato a base de came. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem salada, e 30% das mulheres preferem came. 70% dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos: H={O freguês é homem}; M={O freguês é mulher}; S={o freguês prefere salada} e C={o freguês prefere came}.
Calcule :
P(S cup C);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo as preferências de refeições em um restaurante. A gente precisa calcular a probabilidade de um cliente preferir ou salada ou carne. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, como eventos e a união de eventos. Vamos precisar entender um pouco sobre como combinar probabilidades de diferentes grupos de pessoas (homens e mulheres) que têm preferências distintas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que temos:
  • 70% dos clientes são homens ( P(H) = 0,70).
  • 30% são mulheres ( P(M) = 0,30).
  • Entre os homens, 20% preferem salada ( P(S|H) = 0,20).
  • Entre as mulheres, 30% preferem carne ( P(C|M) = 0,30).
Queremos calcular P(S cup C), que é a probabilidade de um cliente preferir salada ou carne.

Passo 3

Vamos lembrar que a probabilidade da união de dois eventos A e B é dada por:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
No nosso caso, A é S (preferir salada) e B é C (preferir carne). Então:
P(S cup C) = P(S) + P(C) - P(S cap C)
Mas, como um cliente não pode preferir salada e carne ao mesmo tempo, P(S cap C) = 0. Assim, simplificando:
P(S cup C) = P(S) + P(C)

Passo 4

Agora, vamos calcular P(S) e P(C) separadamente.
Primeiro, P(S) é a probabilidade de um cliente preferir salada. Isso pode acontecer de duas maneiras:
  1. O cliente é homem e prefere salada.
  2. O cliente é mulher e prefere salada.
Vamos calcular cada parte:
P(S) = P(H) times P(S|H) + P(M) times P(S|M)
Sabemos que P(S|M) é a probabilidade de uma mulher preferir salada. Como 30% das mulheres preferem carne, então 70% preferem salada:
P(S|M) = 1 - P(C|M) = 1 - 0,30 = 0,70
Agora, substituindo os valores:
P(S) = 0,70 times 0,20 + 0,30 times 0,70 = 0,14 + 0,21 = 0,35

Passo 5

Segundo, P(C) é a probabilidade de um cliente preferir carne. Da mesma forma, isso ocorre de duas maneiras:
  1. O cliente é homem e prefere carne.
  2. O cliente é mulher e prefere carne.
Vamos calcular cada parte:
Sabemos que P(C|H) = 1 - P(S|H) = 1 - 0,20 = 0,80
Então:
P(C) = P(H) times P(C|H) + P(M) times P(C|M)
Substituindo os valores:
P(C) = 0,70 times 0,80 + 0,30 times 0,30 = 0,56 + 0,09 = 0,65

Passo 6

Agora que temos P(S) e P(C), podemos calcular P(S cup C):
P(S cup C) = P(S) + P(C) = 0,35 + 0,65 = 1,00

Resposta

A probabilidade de um cliente preferir salada ou carne é 1,00, ou seja, 100%.

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