Suponha que uma variável aleatória contínua tenha densidade de probabilidade dada por:
f(x)=r 16 x+k, 0<x<3 ; 0, caso contrário á
a) Qual é o valor de k ?
b) Quanto vale b, tal que P(X>b)=5 / 9 ?

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua
e pede (a) o valor de e (b) o ponto tal que , isto é, .

Passo 2

Impor a normalização
integral0^3l(16x + kr),dx = 1
Calculemos a integral:
integral0^316x,dx + integral0^3k,dx = 16cdot3^22 + 3k = 912 + 3k = 34 + 3k
Logo,
34 + 3k = 1 Rightarrow 3k = 14 Rightarrow k = 112

Passo 3

Definimos a função de distribuição acumulada para 0<x<3:
F(x) = integral0^xl(16t + 112r),dt = integral0^xt6,dt + integral0^x112,dt = x^212 + x12 = x^2 + x12
Queremos F(b)=4/9.

Passo 4

Resolver a equação
b^2 + b12 = 49 Longrightarrow b^2 + b = 489 = 163
Multiplicando por 3:
3b^2 + 3b - 16 = 0
As raízes são
b = -3 pm raiz3^2 + 4cdot3cdot162cdot3 = -3 pm raiz9 + 1926 = -3 pm raiz2016
Como b deve estar em (0,3), tomamos a raiz positiva:
b = -3 + raiz2016 approx 1,863

Resposta

a) k = 112
b) b = -3 + raiz2016approx 1,863

Exercícios relacionados