Considere uma variável aleatória X com R X=1,2, ldots. Admita que P(X =j)=(1-a) cdot a j-1 para todo j >= 1. Para que valores de a a função acima define uma legítima distribuição de probabilidade?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória X que assume valores em {1,2,…} e a probabilidade de X = j é
P(X=j) ;=;(1 - a),a^,j-1,, j>=1
Conteúdo: distribuição de probabilidade discreta e soma de séries infinitas (série geométrica).
O que precisamos garantir para ser “legítima”:
  1. Cada .
  2. .

Passo 2

Verificando a não-negatividade:
  • A potência 0 ,<=,a,<=,1 é só se .
  • O fator precisa ser , ou seja .
    Juntando, para para todo , precisamos de

Passo 3

Agora, a soma das probabilidades:
sumj=1^infty P(X=j) =sumj=1^infty (1-a),a^,j-1 =(1-a),sumk=0^infty a^k
Sabemos que a série geométrica sumj=1^infty P(X=j) =(1-a),11-a =1 converge para desde que .
Logo, quando ,
Se , a soma dá zero, não é válida. Se ou , a série nem converge; se , aparecem probabilidades negativas em certos .

Resposta

A função define uma legítima distribuição de probabilidade exatamente para
boxed0 ,<=,a,<,1

Exercícios relacionados