Considere uma variável aleatória
com
. Admita que
para todo
. Para que valores de a a função acima define uma legítima distribuição de probabilidade?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória X que assume valores em {1,2,…} e a probabilidade de X = j é
Conteúdo: distribuição de probabilidade discreta e soma de séries infinitas (série geométrica).
O que precisamos garantir para ser “legítima”:
O que precisamos garantir para ser “legítima”:
- Cada
. -
.
Passo 2
Verificando a não-negatividade:
- A potência
é só se . - O fator
precisa ser , ou seja .
Juntando, parapara todo , precisamos de
Passo 3
Agora, a soma das probabilidades:
Sabemos que a série geométrica
converge para
desde que
.
Logo, quando ,
Logo, quando
Se
, a soma dá zero, não é válida. Se
ou
, a série nem converge; se
, aparecem probabilidades negativas em certos
.
Resposta
A função define uma legítima distribuição de probabilidade exatamente para