Suponha que \vec{F}(t) seja a força resultante que atua, no instante t, sobre uma partícula de massa m que se move no espaço. Mostre que o impulso de \vec{F}(t) no intervalo de tempo [t_{1}, t_{2}] é igual à variação de quantidade de movimento. Isto é, \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}(t) dt = m \vec{v}_{2} - m \vec{v}_{1}, onde \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são as velocidades nos instantes t_{1} e t_{2}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o impulso
\int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}(t)\,dt
é igual à variação da quantidade de movimento de uma partícula de massa m cujas velocidades nos instantes t_{1} e t_{2} são \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. O conteúdo principal é a Segunda Lei de Newton e propriedades de integrais de derivadas.

Passo 2

Segundo a Segunda Lei de Newton, a força resultante é dada por
\vec{F}(t)=m\,\vec{a}(t)\,,
onde \vec{a}(t) é a aceleração. Mas aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é,
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}\,.

Passo 3

Substituindo \vec{F}(t)=m\,\frac{d\vec{v}}{dt} na definição de impulso, obtemos
\int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}(t)\,dt =\int_{t_{1}}^{t_{2}} m\,\frac{d\vec{v}}{dt}\,dt\,.

Passo 4

Como a massa m é constante, pode sair da integral:
\int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}(t)\,dt = m \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d\vec{v}}{dt}\,dt\,.

Passo 5

A integral da derivada de \vec{v} dá a variação de \vec{v} entre t_{1} e t_{2}:
\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d\vec{v}}{dt}\,dt =\vec{v}(t_{2})-\vec{v}(t_{1}) =\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}\,.

Passo 6

Substituindo essa variação na expressão do impulso, concluímos
\int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}(t)\,dt = m\,\bigl(\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}\bigr) = m\vec{v}_{2}-m\vec{v}_{1}\,,
o que mostra que o impulso é igual à variação da quantidade de movimento.

Resposta

\int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F}(t)\,dt = m\vec{v}_{2} - m\vec{v}_{1}.

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