Suponha que
seja a força resultante que atua, no instante
, sobre uma partícula de massa
que se move no espaço. Mostre que o impulso de
no intervalo de tempo
é igual à variação de quantidade de movimento. Isto é,
, onde
e
são as velocidades nos instantes
e
, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o impulso
é igual à variação da quantidade de movimento de uma partícula de massa
cujas velocidades nos instantes
e
são
e
. O conteúdo principal é a Segunda Lei de Newton e propriedades de integrais de derivadas.
Passo 2
Segundo a Segunda Lei de Newton, a força resultante é dada por
onde
é a aceleração. Mas aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é,
Passo 3
Substituindo
na definição de impulso, obtemos
Passo 4
Como a massa
é constante, pode sair da integral:
Passo 5
A integral da derivada de
dá a variação de
entre
e
:
Passo 6
Substituindo essa variação na expressão do impulso, concluímos
o que mostra que o impulso é igual à variação da quantidade de movimento.