Suponha que
tenha distribuição uniforme no triângulo de vértices
e
.
(a) Obtenha
.
(b) Obtenha a covariância e a correlação entre
e
.
(c) Qual o melhor preditor linear de
dado
?
(a) Obtenha
(b) Obtenha a covariância e a correlação entre
(c) Qual o melhor preditor linear de
Passo 1
O enunciado diz que
é uniforme no triângulo com vértices
,
e
. Precisamos de:
– a densidade marginal de e a condicional de
para achar
;
– cálculos de expectativas e variâncias para obter e
;
– a fórmula do preditor linear ótimo em MMQ, que é
– a densidade marginal de
– cálculos de expectativas e variâncias para obter
– a fórmula do preditor linear ótimo em MMQ, que é
Passo 2
A densidade conjunta é constante em
e como a área do triângulo é
, temos
A função marginal de
é
logo a densidade condicional de
dado
é
Passo 3
Para calcular
usamos que
Uniforme
:
Passo 4
Calculamos agora as marginais de
e
e as variâncias:
por simetria
.
então
e idem para
.
Para :
Para
Assim
e
Passo 5
O preditor linear em MMQ é
Resposta
(a)
(b)
(c) O melhor preditor linear é
(b)
(c) O melhor preditor linear é