Suponha que (X, Y) tenha distribuição uniforme no triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,0).
(a) Obtenha \mathrm{E}[Y \mid X].
(b) Obtenha a covariância e a correlação entre X e Y.
(c) Qual o melhor preditor linear de Y dado X ?

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) é uniforme no triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Precisamos de:
– a densidade marginal de X e a condicional de Y\mid X para achar \mathrm{E}[Y\mid X];
– cálculos de expectativas e variâncias para obter \mathrm{Cov}(X,Y) e \mathrm{Corr}(X,Y);
– a fórmula do preditor linear ótimo em MMQ, que é
\hat Y = \mathrm{E}[Y] + \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\mathrm{Var}(X)}\bigl(X - \mathrm{E}[X]\bigr).

Passo 2

A densidade conjunta é constante em \{(x,y):x\ge0,y\ge0,x+y\le1\} e como a área do triângulo é 1/2, temos
f_{X,Y}(x,y)=2,\quad 0\le x\le1,\;0\le y\le1-x.
A função marginal de X é
f_X(x)=\int_{0}^{1-x}2\,dy=2(1-x),\quad 0\le x\le1,
logo a densidade condicional de Y dado X=x é
f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{2}{2(1-x)}=\frac{1}{1-x},\quad 0\le y\le1-x.

Passo 3

Para calcular \mathrm{E}[Y\mid X=x] usamos que Y\mid X=x\simUniforme [0,1-x]:
\mathrm{E}[Y\mid X=x] =\int_{0}^{1-x}y\;\frac{1}{1-x}\,dy =\frac{(1-x)^2}{2(1-x)} =\frac{1-x}{2}.

Passo 4

Calculamos agora as marginais de X e Y e as variâncias: \displaystyle \mathrm{E}[X] =\int_{0}^{1}x\cdot2(1-x)\,dx =1/3, por simetria \mathrm{E}[Y]=1/3. \displaystyle \mathrm{E}[X^2] =\int_{0}^{1}x^2\cdot2(1-x)\,dx =1/6, então \displaystyle \mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{6}-\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2=\tfrac{1}{18} e idem para \mathrm{Var}(Y).
Para \mathrm{E}[XY]:
\mathrm{E}[XY] =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x\,y\cdot2\,dy\,dx =\int_{0}^{1}x\frac{(1-x)^2}{1}\,dx =\frac{1}{12}.
Assim
\mathrm{Cov}(X,Y) =\mathrm{E}[XY]-\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[Y] =\frac{1}{12}-\frac{1}{9} =-\frac{1}{36},
e
\mathrm{Corr}(X,Y) =\frac{-1/36}{\sqrt{(1/18)(1/18)}} =-\tfrac12.

Passo 5

O preditor linear em MMQ é
\hat Y =\mathrm{E}[Y] +\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\mathrm{Var}(X)}\bigl(X-\mathrm{E}[X]\bigr) =\frac13+\Bigl(-\tfrac12\Bigr)\Bigl(X-\tfrac13\Bigr) =\frac12-\frac{X}{2}.

Resposta

(a) \mathrm{E}[Y\mid X]=\tfrac{1-X}{2}.
(b) \mathrm{Cov}(X,Y)=-\tfrac{1}{36},\quad \mathrm{Corr}(X,Y)=-\tfrac12.
(c) O melhor preditor linear é \hat Y=\tfrac12-\tfrac12\,X.

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