Suponha que X tenha distribuição \exp (1) e que Y dado X tenha distribuição N\left(X, X^{2}\right). A partir da esperança e variância condicionais, calcule a esperança e a variância de Y.

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição exponencial com parâmetro 1, ou seja
f_X(x)=e^{-x},\quad x>0,
e que, dado X, a variável Y é normal com média X e variância X^2:
Y\mid X\sim N\bigl(\mu=X,\;\sigma^2=X^2\bigr).
Queremos calcular \mathrm{E}[Y] e \mathrm{Var}(Y) usando as fórmulas de esperança e variância condicionais:
\mathrm{E}[Y]=\mathrm{E}\bigl[\mathrm{E}[Y\mid X]\bigr], \quad \mathrm{Var}(Y)=\mathrm{E}\bigl[\mathrm{Var}(Y\mid X)\bigr]+\mathrm{Var}\bigl(\mathrm{E}[Y\mid X]\bigr).

Passo 2

Primeiro identifiquemos a esperança condicional:
\mathrm{E}[Y\mid X]=X.
Logo,
\mathrm{E}[Y] =\mathrm{E}\bigl[\mathrm{E}[Y\mid X]\bigr] =\mathrm{E}[X].
Como X\sim\exp(1), sabe-se que \mathrm{E}[X]=1. Portanto
\mathrm{E}[Y]=1.

Passo 3

Agora a variância total:
\mathrm{Var}(Y) =\mathrm{E}\bigl[\mathrm{Var}(Y\mid X)\bigr] +\mathrm{Var}\bigl(\mathrm{E}[Y\mid X]\bigr).
Como \mathrm{Var}(Y\mid X)=X^2 e \mathrm{E}[Y\mid X]=X, temos
\mathrm{Var}(Y) =\mathrm{E}[X^2]+\mathrm{Var}(X).
Para X\sim\exp(1) vale \mathrm{Var}(X)=1 e, usando \mathrm{E}[X^2]=\mathrm{Var}(X)+\bigl(\mathrm{E}[X]\bigr)^2=1+1=2, obtemos
\mathrm{Var}(Y)=2+1=3.

Resposta

\mathrm{E}[Y]=1 \mathrm{Var}(Y)=3

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