Suponha que
tenha distribuição
e que
dado
tenha distribuição
. A partir da esperança e variância condicionais, calcule a esperança e a variância de
.
Passo 1
O enunciado diz que
tem distribuição exponencial com parâmetro
, ou seja
e que, dado
, a variável
é normal com média
e variância
:
Queremos calcular
e
usando as fórmulas de esperança e variância condicionais:
Passo 2
Primeiro identifiquemos a esperança condicional:
Logo,
Como
, sabe-se que
. Portanto
Passo 3
Agora a variância total:
Como
e
, temos
Para
vale
e, usando
, obtemos