Suponha que ( X_{1}, X_{2}, X_{3} ) é vetor aleatório com matriz de covariância
\left[\begin{array}{lll} 1 & \rho & 0 \\\ \rho & 1 & \rho \\\\ 0 & \rho & 1 \end{array}\right] .
Verifique se existe algum valor de \rho para o qual Y_{1}=X_{1}+X_{2}+X_{3} é descorrelatada de Y_{2}=X_{1}-X_{2}-X_{3}. Sugestão: escreva o vetor coluna \boldsymbol{Y}=\left[\begin{array}{ll}Y_{1} & Y_{2}\end{array}\right]^{\top} na forma \mathbf{A} \boldsymbol{X}, onde A é matrix 2 \times 3 e \boldsymbol{X} é o vetor coluna \left[\begin{array}{lll}X_{1} & X_{2} & X_{3}\end{array}\right]^{\top}

Passo 1

O enunciado dá um vetor aleatório \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2},X_{3})^{\top} com matriz de covariância
\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & \rho & 0 \\\ \rho & 1 & \rho \\\\ 0 & \rho & 1 \end{pmatrix}
e define
Y_{1}=X_{1}+X_{2}+X_{3}, \quad Y_{2}=X_{1}-X_{2}-X_{3}.
Queremos verificar para que valor de \rho temos \mathrm{Cov}(Y_{1},Y_{2})=0, isto é, Y_{1} e Y_{2} descorrelatam-se.

Passo 2

Escrevemos \boldsymbol{Y}=(Y_{1},Y_{2})^{\top} na forma
\boldsymbol{Y} = A\,\boldsymbol{X},
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}
é a matriz 2\times3 que gera Y_{1} e Y_{2} a partir de \boldsymbol{X}.

Passo 3

Sabemos que
\mathrm{Cov}(\boldsymbol{Y}) \;=\; A\,\Sigma\,A^{\top}.
O elemento fora da diagonal de \mathrm{Cov}(\boldsymbol{Y}) é justamente \mathrm{Cov}(Y_{1},Y_{2}).

Passo 4

Calculamos
\mathrm{Cov}(Y_{1},Y_{2}) = [1\;1\;1]\, \Sigma\, \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}.
Expandindo em somas de covariâncias, obtemos
\mathrm{Cov}(Y_{1},Y_{2}) =1 - \rho - 0 +\rho -1 -\rho +0 -\rho -1 =-1 -2\rho.

Passo 5

Para que \mathrm{Cov}(Y_{1},Y_{2})=0 basta resolver
-1 -2\rho = 0 \quad\Longrightarrow\quad \rho = -\tfrac12.

Resposta

\displaystyle \rho = -\tfrac{1}{2}.

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