Seja (
) um vetor aleatório tendo distribuição uniforme no cone
Usando a transformação
,
(a) obtenha o valor da densidade no cone;
(b) determine
;
(c) determine
.
(a) obtenha o valor da densidade no cone;
(b) determine
(c) determine
Passo 1
O enunciado diz que
é uniformemente distribuído no cone
O conteúdo é distribuição uniforme contínua em região do espaço. Para resolver, precisamos calcular o volume de
e usar
Depois calculamos probabilidades como razões de volumes de sub-regiões.
Passo 2
Vamos achar o volume de
. Em coordenadas cilíndricas
,
,
, a condição
,
dá
Primeiro
, então
Logo a densidade é constante
para
, e zero fora.
Passo 3
Para
consideramos o subcone com
e
. Seu volume é
Então
Passo 4
Para
avaliamos o volume da parte de
onde
. Em função de
:
- se
, o disco tem raio e área , - se
, o disco tem raio e área .
Assim o volume é
Logo
Resposta
A densidade é