Seja ( X, Y, Z ) um vetor aleatório tendo distribuição uniforme no cone
C=(x, y, z): 0<z<2 ; z^2>x^2+y^2
Usando a transformação x=r cos theta, y=r sen theta,
(a) obtenha o valor da densidade no cone;
(b) determine P(Z<1);
(c) determine P(X^2+Y^2<1).

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y,Z) é uniformemente distribuído no cone
C=(x,y,z)mid 0<z<2,;x^2+y^2<z^2
O conteúdo é distribuição uniforme contínua em região do espaço. Para resolver, precisamos calcular o volume de C e usar
fX,Y,Z(x,y,z)=1Volume(C)para (x,y,z)in C
Depois calculamos probabilidades como razões de volumes de sub-regiões.

Passo 2

Vamos achar o volume de C. Em coordenadas cilíndricas x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, a condição r<z, 0<z<2
Volume(C) =integraltheta=0^2piintegralz=0^2integralr=0^zr,dr,dz,dtheta
Primeiro integralr=0^zr,dr=z^22, então
Volume(C) =2piintegral0^2z^22,dz =piintegral0^2z^2,dz =picdot2^33 =8pi3
Logo a densidade é constante
fX,Y,Z(x,y,z) =1tfrac8pi3 =38pi,
para (x,y,z)in C, e zero fora.

Passo 3

Para P(Z<1) consideramos o subcone com 0<z<1 e r<z. Seu volume é
V1 =integral0^2piintegral0^1integral0^zr,dr,dz,dtheta =2piintegral0^1z^22,dz =piintegral0^1z^2,dz =pi3
Então
P(Z<1) =V1Volume(C) =tfracpi3tfrac8pi3 =18

Passo 4

Para P(X^2+Y^2<1) avaliamos o volume da parte de C onde r<1. Em função de z:
  • se 0<z<1, o disco tem raio r=z e área pi z^2,
  • se 1<= z<2, o disco tem raio r=1 e área pi.
    Assim o volume é
V2 =integral0^1pi z^2,dz+integral1^2pi,dz =pil[tfrac1^33r]+pil[2-1r] =pi3+pi =4pi3
Logo
P(X^2+Y^2<1) =V2Volume(C) =tfrac4pi3tfrac8pi3 =12

Resposta

A densidade é
fX,Y,Z(x,y,z)= dfrac38pi,&0<z<2,;x^2+y^2<z^2, 0,&caso contrário á
P(Z<1)=tfrac18
P(X^2+Y^2<1)=tfrac12

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