Suponha que um vetor aleatório (Z, W) tenha Função Distribuição Acumulada definida por:
FZ, W(z, w)= 0 & , se z<3 ou w<0 1 / 10 & , se 3 <= z<4 e 0 <= w<1 3 / 10 & , se 4 <= z<6 e 0 <= w<1 4 / 10 & , se z >= 6 e 0 <= w<1 3 / 10 & , se 3 <= z<4 e w >= 1 6 / 10 & , se 4 <= z<6 e w >= 1 1 & , se z >= 6 e w >= 1
© Encontre as Funções de Probabilidade Marginais das variáveis aleatórias Z e W.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um vetor aleatório discreto pZ(z)=P(Z=z), pW(w)=P(W=w) cuja função de distribuição acumulada é dada por vários “patamares” em retângulos de . A tarefa (item c) é encontrar as funções de probabilidade marginais de e de , ou seja
Para isso vamos:
  1. extrair a função de probabilidade conjunta a partir dos saltos do CDF (usando diferenças de quatro pontos, típico em variáveis discretas);
  2. somar essas probabilidades para obter as marginais.

Passo 2

Primeiro, identificamos que pZ,W(zi,wj) =F(zi,wj)-F(zi^-,wj)-F(zi,wj^-)+F(zi^-,wj^-) só assume valores em F(3,0)&=tfrac110, &F(3^-,0)&=0, F(3,0^-)&=0, &F(3^-,0^-)&=0 Longrightarrow p(3,0)=tfrac110 e F(4,0)&=tfrac310, &F(4^-,0)&=tfrac110, F(4,0^-)&=0, &F(4^-,0^-)&=0 Longrightarrow p(4,0)=tfrac310-tfrac110=tfrac210 em p(6,0) =F(6,0)-F(6^-,0)-F(6,0^-)+F(6^-,0^-) =tfrac410-tfrac310-0+0 =tfrac110 . A fórmula geral é
F(3,1)&=tfrac310, &F(3^-,1)&=0, F(3,1^-)&=tfrac110,&F(3^-,1^-)&=0 Longrightarrow p(3,1)=tfrac310-0-tfrac110+0=tfrac210
Calculamos cada ponto:
  1. Para F(4,1)&=tfrac610, &F(4^-,1)&=tfrac310, F(4,1^-)&=tfrac310,&F(4^-,1^-)&=tfrac110 Longrightarrow p(4,1)=tfrac610-tfrac310-tfrac310+tfrac110=tfrac110 :
F(6,1)&=1, &F(6^-,1)&=tfrac610, F(6,1^-)&=tfrac410,&F(6^-,1^-)&=tfrac310 Longrightarrow p(6,1)=1-tfrac610-tfrac410+tfrac310=tfrac310
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Conferimos que todas somam 1:
.

Passo 3

Agora as marginais:
Para pZ(3)&=p(3,0)+p(3,1)=tfrac110+tfrac210=tfrac310, pZ(4)&=p(4,0)+p(4,1)=tfrac210+tfrac110=tfrac310, pZ(6)&=p(6,0)+p(6,1)=tfrac110+tfrac310=tfrac410 :
pW(0)&=p(3,0)+p(4,0)+p(6,0) =tfrac110+tfrac210+tfrac110=tfrac410, pW(1)&=p(3,1)+p(4,1)+p(6,1) =tfrac210+tfrac110+tfrac310=tfrac610
Para :

Resposta

As funções de probabilidade marginais são:
pZ(z)= 3/10, & z=3, 3/10, & z=4, 4/10, & z=6, 0, & caso contrário, pW(w)= 4/10, & w=0, 6/10, & w=1, 0, & outros á

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