Suponha que um vetor aleatório tenha Função Distribuição Acumulada definida por:
(d) Encontre as Funções de Distribuição Marginais das variáveis aleatórias Z e W.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar as funções de distribuição marginais de FZ(z)=limwto+inftyFZ,W(z,w), FW(w)=limzto+inftyFZ,W(z,w) e , ou seja:
Estamos em Probabilidade e vamos usar a propriedade de que
A partir daí é só olhar os pedaços do dado no enunciado.
Passo 2
Teoria rapidinha: a distribuição marginal de FZ(z)=P(Z<= z)=limwto+inftyFZ,W(z,w) é obtida “empurrando” até o infinito, porque isso garante que a gente some todas as probabilidades possíveis de . Formalmente,
Passo 3
Agora examinando o enunciado para cada região de FZ(z)=0, z<3 :
Se FZ(z)=tfrac310, 3<= z<4 , para qualquer FZ(z)=tfrac610, 4<= z<6 (até no infinito) FZ(z)=1, z>=6 . Logo
Se , e (ou seja ), o enunciado dá . Então
Se , com (ou ), temos . Logo
Se , com , o enunciado diz que . Então
Passo 4
Para FW(w)=P(W<= w)=limzto+inftyFZ,W(z,w) , a lógica é análoga:
Passo 5
Olhando o FW(w)=0, w<0 para FW(w)=tfrac410, 0<= w<1 (então FW(w)=1, w>=1 ):
Se , a CDF original já é zero, então
Se , com o enunciado dá . Então
Se , e , está na última linha do enunciado: . Portanto