Suponha que um vetor aleatório (Z, W) tenha Função Distribuição Acumulada definida por:
FZ, W(z, w)= 0 & , se z<3 ou w<0 1 / 10 & , se 3 <= z<4 e 0 <= w<1 3 / 10 & , se 4 <= z<6 e 0 <= w<1 4 / 10 & , se z >= 6 e 0 <= w<1 3 / 10 & , se 3 <= z<4 e w >= 1 6 / 10 & , se 4 <= z<6 e w >= 1 1 & , se z >= 6 e w >= 1
(d) Encontre as Funções de Distribuição Marginais das variáveis aleatórias Z e W.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar as funções de distribuição marginais de FZ(z)=limwto+inftyFZ,W(z,w), FW(w)=limzto+inftyFZ,W(z,w) e , ou seja:
Estamos em Probabilidade e vamos usar a propriedade de que
A partir daí é só olhar os pedaços do dado no enunciado.

Passo 2

Teoria rapidinha: a distribuição marginal de FZ(z)=P(Z<= z)=limwto+inftyFZ,W(z,w) é obtida “empurrando” até o infinito, porque isso garante que a gente some todas as probabilidades possíveis de . Formalmente,

Passo 3

Agora examinando o enunciado para cada região de FZ(z)=0, z<3 :
  • Se FZ(z)=tfrac310, 3<= z<4 , para qualquer FZ(z)=tfrac610, 4<= z<6 (até no infinito) FZ(z)=1, z>=6 . Logo
  • Se , e (ou seja ), o enunciado dá . Então
  • Se , com (ou ), temos . Logo
  • Se , com , o enunciado diz que . Então

Passo 4

Para FW(w)=P(W<= w)=limzto+inftyFZ,W(z,w) , a lógica é análoga:

Passo 5

Olhando o FW(w)=0, w<0 para FW(w)=tfrac410, 0<= w<1 (então FW(w)=1, w>=1 ):
  • Se , a CDF original já é zero, então
  • Se , com o enunciado dá . Então
  • Se , e , está na última linha do enunciado: . Portanto

Resposta

Aí estão as marginais:
0, & z<3, dfrac310, & 3<= z<4, dfrac610, & 4<= z<6, 1, & z>=6,
0, & w<0, dfrac410, & 0<= w<1, 1, & w>=1

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