Suponha que um vetor aleatório (Z, W) tenha Função Distribuição Acumulada definida por:
FZ, W(z, w)= 0 & , se z<3 ou w<0 1 / 10 & , se 3 <= z<4 e 0 <= w<1 3 / 10 & , se 4 <= z<6 e 0 <= w<1 4 / 10 & , se z >= 6 e 0 <= w<1 3 / 10 & , se 3 <= z<4 e w >= 1 6 / 10 & , se 4 <= z<6 e w >= 1 1 & , se z >= 6 e w >= 1
(b) Encontre a Função de Probabilidade Conjunta do vetor aleatório (Z, W).

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que o vetor aleatório pZ,W(z,w) =De tem uma função de distribuição acumulada (CDF) que é constante em pedaços, com valores diferentes dependendo de faixas de e . A questão (b) pede para a gente achar a função de probabilidade conjunta (pmf) de .
Conteúdo: variáveis aleatórias discretas em duas dimensões e relação entre CDF e pmf. Vamos precisar do fato de que, para variáveis discretas,

Passo 2

Primeiro a gente identifica onde a CDF tem saltos. Como só muda em e em , isso significa que só pode assumir os pares . Cada salto da CDF nessas fronteiras é a massa de probabilidade naquele ponto.

Passo 3

Vamos escrever a fórmula geral para o ponto pZ,W(zi,wj) =F(zi,wj)-F(zi^-,wj)-F(zi,wj^-)+F(zi^-,wj^-) :
Aqui é o limite da CDF à esquerda de , e é o limite de vindo de baixo.

Passo 4

Calcular cada ponto:
  1. p(3,0)=tfrac110-0-0+0=tfrac110 :
    p(4,0)=tfrac310-tfrac110-0+0=tfrac210 .
    Então
    p(6,0)=tfrac410-tfrac310-0+0=tfrac110
  2. p(3,1)=tfrac310-0-tfrac110+0=tfrac210 :
    p(4,1)=tfrac610-tfrac310-tfrac310+tfrac110=tfrac110 .
    p(6,1)=1-tfrac610-tfrac410+tfrac310=tfrac310
  3. :
    .
  4. :
    .
  5. :
    .
  6. :
    .

Resposta

A função de probabilidade conjunta é
pZ,W(z,w)= tfrac110,&(z,w)=(3,0), tfrac210,&(z,w)=(4,0), tfrac110,&(z,w)=(6,0), tfrac210,&(z,w)=(3,1), tfrac110,&(z,w)=(4,1), tfrac310,&(z,w)=(6,1), 0,&caso contrário á

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