Suponha que um vetor aleatório tenha Função Distribuição Acumulada definida por:
(b) Encontre a Função de Probabilidade Conjunta do vetor aleatório (Z, W).
Passo 1
Beleza, então o exercício diz que o vetor aleatório pZ,W(z,w) =De tem uma função de distribuição acumulada (CDF) que é constante em pedaços, com valores diferentes dependendo de faixas de e . A questão (b) pede para a gente achar a função de probabilidade conjunta (pmf) de .
Conteúdo: variáveis aleatórias discretas em duas dimensões e relação entre CDF e pmf. Vamos precisar do fato de que, para variáveis discretas,
Passo 2
Primeiro a gente identifica onde a CDF tem saltos. Como só muda em e em , isso significa que só pode assumir os pares . Cada salto da CDF nessas fronteiras é a massa de probabilidade naquele ponto.
Passo 3
Vamos escrever a fórmula geral para o ponto pZ,W(zi,wj) =F(zi,wj)-F(zi^-,wj)-F(zi,wj^-)+F(zi^-,wj^-) :
Aqui é o limite da CDF à esquerda de , e é o limite de vindo de baixo.
Passo 4
Calcular cada ponto:
p(3,0)=tfrac110-0-0+0=tfrac110 : p(4,0)=tfrac310-tfrac110-0+0=tfrac210 .
Então