Suponha que o vetor unitário \hat{i} aponta para leste, o vetor unitário \hat{j} aponta para o norte e o vetor unitário \hat{\mathrm{k}} aponta para cima. Quanto valem os produtos
Quais são as orientações (como, por exemplo, para leste ou para baixo) dos produtos (f) (-\hat{k}) \times(-\hat{j}) ?

Passo 1

O enunciado dá as direções dos vetores unitários:
  • \hat{\imath} aponta para leste.
  • \hat{\jmath} aponta para norte.
  • \hat{\mathrm{k}} aponta para cima.
A pergunta é: calcular e descrever a orientação do produto vetorial (- \hat{\mathrm{k}})\times(-\hat{\jmath}).

Passo 2

Lembra rápido do que é produto vetorial (sem pânico, vai ser curto e prático):
  • O produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.
  • A direção é dada pela regra da mão direita: dedos de \mathbf{a} para \mathbf{b}, o polegar indica \mathbf{a}\times\mathbf{b}.
  • A magnitude vale |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre eles. Para vetores unitários ortogonais, a magnitude é 1.

Passo 3

Propriedades algébricas úteis (que vamos usar, explicadinhas):
  • Anti‑comutatividade: \mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\,\mathbf{b}\times\mathbf{a}. Isso significa inverter a ordem muda o sinal.
  • Homogeneidade: (\alpha\mathbf{a})\times(\beta\mathbf{b}) = \alpha\beta(\mathbf{a}\times\mathbf{b}). Então constantes podem ser “puxadas” para fora.
  • As identidades canônicas entre os versores (essas são básicas e muito úteis):
    \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{\mathrm{k}},
    \hat{\jmath}\times\hat{\mathrm{k}}=\hat{\imath},
    \hat{\mathrm{k}}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath}.
    Essas três são cíclicas; trocar a ordem introduz um sinal negativo (pela anti‑comutatividade).

Passo 4

Aplicando as propriedades ao produto pedido:
Primeiro factoramos os escalares:
(-\hat{\mathrm{k}})\times(-\hat{\jmath}) = (-1)(-1)\,(\hat{\mathrm{k}}\times\hat{\jmath}).
Como (-1)(-1)=1, isto simplifica para
(-\hat{\mathrm{k}})\times(-\hat{\jmath}) = \hat{\mathrm{k}}\times\hat{\jmath}.

Passo 5

Agora usamos as identidades cíclicas. Sabemos que
\hat{\jmath}\times\hat{\mathrm{k}}=\hat{\imath}.
Pela anti‑comutatividade,
\hat{\mathrm{k}}\times\hat{\jmath} = -\,(\hat{\jmath}\times\hat{\mathrm{k}}) = -\hat{\imath}.
Portanto
\hat{\mathrm{k}}\times\hat{\jmath} = -\hat{\imath}.

Passo 6

Interpretação geométrica e orientação: -\hat{\imath} é o vetor unitário apontando na direção oposta a \hat{\imath}. Como \hat{\imath} aponta para leste, -\hat{\imath} aponta para oeste. A magnitude é 1 (é um versor), então o resultado é um vetor unitário para oeste.

Resposta

-\hat{\imath} (oeste)

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