Suponha que o vetor unitário
aponta para leste, o vetor unitário
aponta para o norte e o vetor unitário
aponta para cima. Quanto valem os produtos
Quais são as orientações (como, por exemplo, para leste ou para baixo) dos produtos
?
Quais são as orientações (como, por exemplo, para leste ou para baixo) dos produtos
Passo 1
O enunciado dá as direções dos vetores unitários:
-
aponta para leste. -
aponta para norte. -
aponta para cima.
A pergunta é: calcular e descrever a orientação do produto vetorial
.
Passo 2
Lembra rápido do que é produto vetorial (sem pânico, vai ser curto e prático):
- O produto vetorial
é um vetor perpendicular a e a . - A direção é dada pela regra da mão direita: dedos de
para , o polegar indica . - A magnitude vale
, onde é o ângulo entre eles. Para vetores unitários ortogonais, a magnitude é .
Passo 3
Propriedades algébricas úteis (que vamos usar, explicadinhas):
- Anti‑comutatividade:
. Isso significa inverter a ordem muda o sinal. - Homogeneidade:
. Então constantes podem ser “puxadas” para fora. - As identidades canônicas entre os versores (essas são básicas e muito úteis):
Essas três são cíclicas; trocar a ordem introduz um sinal negativo (pela anti‑comutatividade).
Passo 4
Aplicando as propriedades ao produto pedido:
Primeiro factoramos os escalares:
Primeiro factoramos os escalares:
Como
, isto simplifica para
Passo 5
Agora usamos as identidades cíclicas. Sabemos que
Pela anti‑comutatividade,
Pela anti‑comutatividade,
Portanto
Passo 6
Interpretação geométrica e orientação:
é o vetor unitário apontando na direção oposta a
. Como
aponta para leste,
aponta para oeste. A magnitude é
(é um versor), então o resultado é um vetor unitário para oeste.