Uma mulher caminha 250 m na direção 30^{\circ} a leste do norte e, em seguida, caminha 175 m na direção leste. Determine
o módulo do deslocamento total da mulher em relação ao ponto de partida.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Foi dado que a mulher caminha primeiro 250\\ \text{m} na direção 30^\circ a leste do norte.
  • Em seguida ela caminha 175\\ \text{m} na direção leste.
  • O que se pede: determinar o módulo (ou seja, o comprimento) do deslocamento total em relação ao ponto de partida.
Informações relevantes listadas:
  • Primeiro deslocamento: magnitude 250\\ \text{m}, direção 30^\circ a leste do norte.
  • Segundo deslocamento: magnitude 175\\ \text{m}, direção leste (ou seja, ao longo do eixo leste).
  • Procuramos o módulo do vetor resultante da soma desses dois deslocamentos.

Passo 2

Escolher um sistema de referência e explicar como decompor vetores:
  • Adoto um sistema cartesiano simples onde o eixo x aponta para leste e o eixo y aponta para norte.
  • Para somar vetores é mais fácil decompor cada vetor em componentes x (leste) e y (norte), somar as componentes correspondentes e depois usar o teorema de Pitágoras para achar o módulo do vetor resultante.
Explicando trigonometria usada (de forma bem direta):
  • Considere um vetor de magnitude R que forma um ângulo \theta medido a partir do eixo y (norte) em direção ao x (leste). Então as componentes são
x = R\sin\theta,\qquad y = R\cos\theta.
  • Aqui \sin\theta é a razão do cateto oposto pelo hipotenusa e \cos\theta é a razão do cateto adjacente pela hipotenusa, aplicadas ao triângulo retângulo formado pelas componentes do vetor.

Passo 3

Decompor o primeiro deslocamento ( 250\\ \text{m} a 30^\circ a leste do norte):
  • Usando a fórmula acima com R=250 e \theta=30^\circ:
x_1 = 250\sin 30^\circ,\qquad y_1 = 250\cos 30^\circ.
  • Sabendo que \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2} e \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
x_1 = 250\cdot \tfrac{1}{2} = 125\\ \text{m},
y_1 = 250\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 125\sqrt{3}\\ \text{m}.
  • Para referência numérica, 125\sqrt{3}\approx 216{,}506\\ \text{m} (mas essa aproximação não será a resposta final).

Passo 4

Decompor o segundo deslocamento ( 175\\ \text{m} a leste):
  • Como é puramente a leste, sua componente x é 175\\ \text{m} e a componente y é 0:
x_2 = 175\\ \text{m},\qquad y_2 = 0\\ \text{m}.

Passo 5

Somar as componentes para obter as componentes do deslocamento total:
  • Soma das componentes x:
x_{\text{tot}} = x_1 + x_2 = 125 + 175 = 300\\ \text{m}.
  • Soma das componentes y:
y_{\text{tot}} = y_1 + y_2 = 125\sqrt{3} + 0 = 125\sqrt{3}\\ \text{m}.

Passo 6

Calcular o módulo do deslocamento total usando o teorema de Pitágoras:
  • O módulo D do vetor resultante é
D = \sqrt{x_{\text{tot}}^{2} + y_{\text{tot}}^{2}}.
  • Substituindo os valores:
D = \sqrt{300^{2} + \bigl(125\sqrt{3}\bigr)^{2}}.
  • Calcular os quadrados:
300^{2} = 90000,\qquad \bigl(125\sqrt{3}\bigr)^{2} = 125^{2}\cdot 3 = 15625\cdot 3 = 46875.
  • Soma:
90000 + 46875 = 136875.
  • Portanto
D = \sqrt{136875}.
  • Aproximação numérica (apenas aqui como cálculo auxiliar): \sqrt{136875}\approx 369{,}97\\ \text{m}.

Resposta

369{,}97\\ \text{m} \approx 370\\ \text{m}

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