Suponha que o vetor unitário
aponta para leste, o vetor unitário
aponta para o norte e o vetor unitário
aponta para cima. Quanto valem os produtos
?
Passo 1
O enunciado dá as direções dos vetores unitários:
-
aponta para leste, -
aponta para norte, -
aponta para cima.
A pergunta é: quanto vale o produto escalar
?
Passo 2
Vou lembrar a definição e propriedades do produto escalar (dot product), de um jeito bem direto e prático.
Definição geométrica: para dois vetores
e
,
onde
e
são as normas (comprimentos) dos vetores e
é o ângulo entre eles.
Propriedade de multiplicação por escalar: se
é um número real e
um vetor,
Isto significa que podemos puxar constantes para fora do produto escalar.
Outra propriedade útil para vetores canônicos (unitários) ortogonais é:
para qualquer vetor unitário
, porque
e o ângulo é
(cos
).
Passo 3
Aplicando a propriedade de multiplicação por escalar ao nosso caso:
Ou seja, posso tirar o sinal negativo como constante antes do produto.
Passo 4
Agora uso que
é um vetor unitário, então
Substituindo em
dá
Passo 5
Para ver de outro jeito (confirmação por componentes): em coordenadas cartesianas,
O produto escalar componente a componente é
o mesmo resultado, perfeito.