Suponha que o vetor unitário \hat{i} aponta para leste, o vetor unitário \hat{j} aponta para o norte e o vetor unitário \hat{\mathrm{k}} aponta para cima. Quanto valem os produtos
\hat{\mathrm{j}} \cdot(-\hat{\mathrm{j}}) ?

Passo 1

O enunciado dá as direções dos vetores unitários:
  • \hat{\imath} aponta para leste,
  • \hat{\jmath} aponta para norte,
  • \hat{k} aponta para cima.
A pergunta é: quanto vale o produto escalar \hat{\jmath}\cdot(-\hat{\jmath})?

Passo 2

Vou lembrar a definição e propriedades do produto escalar (dot product), de um jeito bem direto e prático.
Definição geométrica: para dois vetores \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta,
onde |\vec{a}| e |\vec{b}| são as normas (comprimentos) dos vetores e \theta é o ângulo entre eles.
Propriedade de multiplicação por escalar: se c é um número real e \vec{b} um vetor,
\vec{a}\cdot(c\vec{b})=c(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Isto significa que podemos puxar constantes para fora do produto escalar.
Outra propriedade útil para vetores canônicos (unitários) ortogonais é:
\hat{u}\cdot\hat{u}=1
para qualquer vetor unitário \hat{u}, porque |\hat{u}|=1 e o ângulo é 0 (cos 0=1).

Passo 3

Aplicando a propriedade de multiplicação por escalar ao nosso caso:
\hat{\jmath}\cdot(-\hat{\jmath}) = -(\hat{\jmath}\cdot\hat{\jmath}).
Ou seja, posso tirar o sinal negativo como constante antes do produto.

Passo 4

Agora uso que \hat{\jmath} é um vetor unitário, então
\hat{\jmath}\cdot\hat{\jmath}=1.
Substituindo em \hat{\jmath}\cdot(-\hat{\jmath})
\hat{\jmath}\cdot(-\hat{\jmath}) = -1.

Passo 5

Para ver de outro jeito (confirmação por componentes): em coordenadas cartesianas,
\hat{\jmath}=(0,1,0),\qquad -\hat{\jmath}=(0,-1,0).
O produto escalar componente a componente é
\hat{\jmath}\cdot(-\hat{\jmath}) = 0\cdot0 + 1\cdot(-1) + 0\cdot0 = -1,
o mesmo resultado, perfeito.

Resposta

-1

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