Suponha que os vetores dados são soluções de um sistema da forma
. Verifique se eles formam um conjunto fundamental de soluções.
e
Passo 1
O enunciado nos dá duas soluções de um sistema linear homogêneo de dimensão
,
e pede para verificar se elas formam um conjunto fundamental, ou seja, se são linearmente independentes. Para isso vamos usar o Wronskiano, que é o determinante da matriz formada pelas soluções como colunas.
Passo 2
Formamos a matriz fundamental
Passo 3
O Wronskiano é
Calculando o interior:
logo
Passo 4
Como
para todo
, temos
em qualquer instante. Portanto
e
são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções do sistema.
Resposta
As soluções
e
formam um conjunto fundamental de soluções porque o Wronskiano
é sempre diferente de zero.