Suponha que os vetores dados são soluções de um sistema da forma X^prime=A X. Verifique se eles formam um conjunto fundamental de soluções.
X1=binom1-1 e^t e X2=binom26 e^t+binom8-8 t e^t

Passo 1

O enunciado nos dá duas soluções de um sistema linear homogêneo de dimensão 2,
X1(t)=binom1-1e^t, X2(t)=binom26e^t+binom8-8,t,e^t,
e pede para verificar se elas formam um conjunto fundamental, ou seja, se são linearmente independentes. Para isso vamos usar o Wronskiano, que é o determinante da matriz formada pelas soluções como colunas.

Passo 2

Formamos a matriz fundamental
X(t)=l[ X1(t);X2(t) r] = e^t & 2e^t+8t,e^t [6pt] -,e^t & 6e^t-8t,e^t = e^t 1 & 2+8t [3pt] -1 & 6-8t ]

Passo 3

O Wronskiano é
W(t)=detl(X(t)r) = e^t cdot e^t , det1 & 2+8t [3pt] -1 & 6-8t = e^2t l[ 1 cdot (6-8t) - (2+8t) cdot (-1) r]
Calculando o interior:
1 cdot (6-8t) - (2+8t)(-1) = 6 - 8t + 2 + 8t = 8,
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W(t) = 8 , e^2t ]

Passo 4

Como e^2t>0 para todo t, temos W(t)=8e^2tneq0 em qualquer instante. Portanto X1 e X2 são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções do sistema.

Resposta

As soluções X1 e X2 formam um conjunto fundamental de soluções porque o Wronskiano W(t)=8e^2t é sempre diferente de zero.

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