Suponha que você arremesse 1000 moedas.
Qual é a probabilidade de se obter exatamente 600 caras e 400 coroas?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, em n=1000 lançamentos independentes de moeda justa ( p(cara)=0,5), obter exatamente 600 caras e 400 coroas. O conteúdo aqui é a distribuição binomial: se X é o número de caras em n lançamentos, então
Xsim Binomial(n,p),
e
P(X=k)=binomnkp^k(1-p)^n-k

Passo 2

Aplicando a fórmula da binomial para n=1000, k=600 e p=0,5, temos
P(X=600) =binom1000600(0,5)^600(0,5)^400 =binom1000600(0,5)^1000

Passo 3

Para deixar claro, escrevemos a probabilidade final em forma fechada:
P(600 caras)=binom1000600l(tfrac12r)^1000

Passo 4

Como n é grande, às vezes usamos a aproximação normal pela CLT:
Xapprox Nl(np,;np(1-p)r) = N(500,;250)
Então
P(X=600)approx 1raiz2picdot250 exp!l(-(600-500)^22cdot250r) approx 5,2times10^-11,
o que confirma que é uma chance extremamente pequena.

Resposta

P(600 caras e 400 coroas) =binom1000600l(tfrac12r)^1000
(Aproximadamente 5,2times10^-11 pela normal.)

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