Suponha que você deixe cair várias bolinhas de chumbo em um alvo desenhado no chão. De acordo com o princípio de indeterminação, mesmo que o ponto médio de lançamento esteja situado diretamente acima da mosca, as bolinhas não caem necessariamente na mosca, pois o resultado do experimento depende da indeterminação das condições iniciais. (a) Se existe uma indeterminação De na posição horizontal da bolinha e uma indeterminação De na componente horizontal da velocidade da bolinha, escreva uma expressão para a dispersão mínima De dos pontos de impacto em relação ao centro do alvo, supondo que a distância vertical entre o ponto de lançamento e o alvo é y0. (b) Modifique o resultado do item (a) para incluir o efeito sobre De das indeterminações De e De no ponto de lançamento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A gente tem um experimento onde bolinhas de chumbo são lançadas de cima para um alvo no chão. De acordo com o princípio da indeterminação, mesmo que você aponte exatamente para a mosca, as bolinhas podem não cair exatamente lá devido às incertezas nas condições iniciais, como posição e velocidade. A matéria que vamos usar aqui é a Mecânica Quântica, especificamente o Princípio da Indeterminação de Heisenberg. Para resolver isso, vamos precisar das incertezas na posição ( De) e na velocidade horizontal ( De) da bolinha, além da distância vertical ( y0) entre o ponto de lançamento e o alvo.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como a incerteza na posição horizontal ( De) e na velocidade horizontal ( De) afetam onde a bolinha vai cair. A incerteza na posição inicial significa que a bolinha pode começar ligeiramente à esquerda ou à direita do ponto central. Da mesma forma, se a velocidade horizontal tem uma incerteza, a bolinha pode estar se movendo um pouco mais para a esquerda ou para a direita durante a queda.

Passo 3

Vamos calcular quanto tempo a bolinha leva para cair até o alvo. Sabemos que a distância vertical é y0 e vamos considerar que a única aceleração vertical é a da gravidade ( g). A equação para o tempo de queda é:
t = raiz2y0g
Isso nos dá o tempo que a bolinha leva para descer do ponto de lançamento até o alvo.

Passo 4

Agora, vamos ver como a incerteza na velocidade horizontal ( De) afeta a posição final da bolinha. A distância horizontal que a bolinha percorre devido à incerteza na velocidade é dada por:
De
Substituindo o valor de t que encontramos:
De

Passo 5

Além da incerteza na velocidade, já temos uma incerteza inicial na posição horizontal ( De). A dispersão total De dos pontos de impacto no alvo será a soma das incertezas na posição e na velocidade:
De
Substituindo De:
De

Resposta

A dispersão mínima dos pontos de impacto no alvo é dada por:
De

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