Suponha que você deixe cair várias bolinhas de chumbo em um alvo desenhado no chão. De acordo com o princípio de indeterminação, mesmo que o ponto médio de lançamento esteja situado diretamente acima da mosca, as bolinhas não caem necessariamente na mosca, pois o resultado do experimento depende da indeterminação das condições iniciais. (a) Se existe uma indeterminação
na posição horizontal da bolinha e uma indeterminação
na componente horizontal da velocidade da bolinha, escreva uma expressão para a dispersão mínima
dos pontos de impacto em relação ao centro do alvo, supondo que a distância vertical entre o ponto de lançamento e o alvo é
. (b) Modifique o resultado do item (a) para incluir o efeito sobre
das indeterminações
e
no ponto de lançamento.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A gente tem um experimento onde bolinhas de chumbo são lançadas de cima para um alvo no chão. De acordo com o princípio da indeterminação, mesmo que você aponte exatamente para a mosca, as bolinhas podem não cair exatamente lá devido às incertezas nas condições iniciais, como posição e velocidade. A matéria que vamos usar aqui é a Mecânica Quântica, especificamente o Princípio da Indeterminação de Heisenberg. Para resolver isso, vamos precisar das incertezas na posição (
) e na velocidade horizontal (
) da bolinha, além da distância vertical (
) entre o ponto de lançamento e o alvo.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como a incerteza na posição horizontal (
) e na velocidade horizontal (
) afetam onde a bolinha vai cair. A incerteza na posição inicial significa que a bolinha pode começar ligeiramente à esquerda ou à direita do ponto central. Da mesma forma, se a velocidade horizontal tem uma incerteza, a bolinha pode estar se movendo um pouco mais para a esquerda ou para a direita durante a queda.
Passo 3
Vamos calcular quanto tempo a bolinha leva para cair até o alvo. Sabemos que a distância vertical é
e vamos considerar que a única aceleração vertical é a da gravidade (
). A equação para o tempo de queda é:
Isso nos dá o tempo que a bolinha leva para descer do ponto de lançamento até o alvo.
Passo 4
Agora, vamos ver como a incerteza na velocidade horizontal (
) afeta a posição final da bolinha. A distância horizontal que a bolinha percorre devido à incerteza na velocidade é dada por:
Substituindo o valor de
que encontramos:
Passo 5
Além da incerteza na velocidade, já temos uma incerteza inicial na posição horizontal (
). A dispersão total
dos pontos de impacto no alvo será a soma das incertezas na posição e na velocidade:
Substituindo
:
Resposta
A dispersão mínima dos pontos de impacto no alvo é dada por: