Usando a expressão relativística
, (a) mostre que a velocidade de fase da onda associada a um elétron é maior que
; (b) mostre que a velocidade de grupo da onda associada a um elétron é igual à velocidade do elétron.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão relativística que relaciona a energia total $ E $ de uma partícula com seu momento $ p $, massa $ m $ e a velocidade da luz $ c $:
A questão tem duas partes:
a) Mostrar que a velocidade de fase da onda associada a um elétron é maior que $ c $.
b) Mostrar que a velocidade de grupo da onda associada a um elétron é igual à velocidade do elétron.
a) Mostrar que a velocidade de fase da onda associada a um elétron é maior que $ c $.
b) Mostrar que a velocidade de grupo da onda associada a um elétron é igual à velocidade do elétron.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são velocidade de fase e velocidade de grupo, além de usar a relação relativística dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade de fase. Em ondas, a velocidade de fase ($ v_{fase} $) é a velocidade com que uma fase específica da onda (como o pico) se propaga no espaço. Matematicamente, é dada por:
Onde:
- $ \omega $ é a frequência angular da onda.
- $ k $ é o número de onda.
No contexto de partículas como elétrons, associamos a energia $ E $ com a frequência angular $ \omega $ pela relação:
E o momento $ p $ com o número de onda $ k $:
Onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Agora, vamos expressar a velocidade de fase em termos de energia e momento:
Então, a velocidade de fase é a razão entre a energia total da partícula e seu momento.
Passo 4
Precisamos mostrar que $ v_{fase} > c $. Vamos usar a relação relativística dada:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Portanto, a velocidade de fase fica:
Note que $ \frac{m^{2} c{4}}{p{2}} $ é sempre positivo, então:
Isso mostra que a velocidade de fase é maior que a velocidade da luz $ c $.
Passo 5
Agora, vamos para a velocidade de grupo ($ v_{grupo} $). A velocidade de grupo é a velocidade com que a energia ou informação se propaga, e é dada por:
Usando as relações $ E = \hbar \omega $ e $ p = \hbar k $, temos:
Então:
Passo 6
Agora, vamos derivar $ E $ com relação a $ p $ usando a expressão relativística:
A derivada de $ E $ em relação a $ p $ é:
Mas também sabemos que a velocidade do elétron ($ v $) é igual a $ \frac{p c^{2}}{E} $, então:
Resposta
a) A velocidade de fase da onda associada a um elétron é maior que $ c $.
b) A velocidade de grupo da onda associada a um elétron é igual à velocidade do elétron.