Usando a expressão relativística E^2=p^2 c^2+m^2 c^4, (a) mostre que a velocidade de fase da onda associada a um elétron é maior que c; (b) mostre que a velocidade de grupo da onda associada a um elétron é igual à velocidade do elétron.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão relativística que relaciona a energia total $ E $ de uma partícula com seu momento $ p $, massa $ m $ e a velocidade da luz $ c $:
E
A questão tem duas partes:
a) Mostrar que a velocidade de fase da onda associada a um elétron é maior que $ c $.
b) Mostrar que a velocidade de grupo da onda associada a um elétron é igual à velocidade do elétron.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são velocidade de fase e velocidade de grupo, além de usar a relação relativística dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade de fase. Em ondas, a velocidade de fase ($ v_{fase} $) é a velocidade com que uma fase específica da onda (como o pico) se propaga no espaço. Matematicamente, é dada por:
vfase
Onde:
  • $ \omega $ é a frequência angular da onda.
  • $ k $ é o número de onda.
No contexto de partículas como elétrons, associamos a energia $ E $ com a frequência angular $ \omega $ pela relação:
vfase = omegak
E o momento $ p $ com o número de onda $ k $:
omega
Onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Agora, vamos expressar a velocidade de fase em termos de energia e momento:
vfase = omegak = E / hbarp / hbar = Ep
Então, a velocidade de fase é a razão entre a energia total da partícula e seu momento.

Passo 4

Precisamos mostrar que $ v_{fase} > c $. Vamos usar a relação relativística dada:
vfase > c
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4
Portanto, a velocidade de fase fica:
E = raizp^2 c^2 + m^2 c^4
Note que $ \frac{m^{2} c{4}}{p{2}} $ é sempre positivo, então:
vfase = Ep = raizp^2 c^2 + m^2 c^4p = raizc^2 + m^2 c^4p^2
Isso mostra que a velocidade de fase é maior que a velocidade da luz $ c $.

Passo 5

Agora, vamos para a velocidade de grupo ($ v_{grupo} $). A velocidade de grupo é a velocidade com que a energia ou informação se propaga, e é dada por:
vgrupo
Usando as relações $ E = \hbar \omega $ e $ p = \hbar k $, temos:
vgrupo = domegadk
Então:
E = hbar omega

Passo 6

Agora, vamos derivar $ E $ com relação a $ p $ usando a expressão relativística:
E
A derivada de $ E $ em relação a $ p $ é:
p
Mas também sabemos que a velocidade do elétron ($ v $) é igual a $ \frac{p c^{2}}{E} $, então:
E = raizp^2 c^2 + m^2 c^4

Resposta

a) A velocidade de fase da onda associada a um elétron é maior que $ c $.
b) A velocidade de grupo da onda associada a um elétron é igual à velocidade do elétron.

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