Suponha que você esteja encarregado da cobrança de pedágio na estrada que liga Ouro Branco a Ouro Preto, o qual praticamente não apresenta custos. A demanda de utilização da estrada, Q , é expressa por meio de P=15-(1 / 2) Q.
a. Quantas pessoas utilizariam a estrada caso não houvesse cobrança?
b. Qual seria a perda de excedente do consumidor em razão da cobrança de um pedágio de \mathrm{R} \ 5,00$ ?
c. Suponha que você esteja pensando em aumentar o valor do pedágio para \mathrm{R} \ 7,00$. A esse preço mais alto, quantas pessoas utilizariam a estrada? Sua receita, como operador do pedágio, aumentaria ou diminuiria? O que sua resposta lhe diz sobre a elasticidade da demanda?
d. Calcule a perda de excedente do consumidor em razão de um aumento, de R$5,00 para R$7,00, no preço do pedágio.

Passo 1

O enunciado fornece a função inversa da demanda
P = 15 - \tfrac12 Q
e informa que o custo de uso da estrada é zero. Precisamos então:
a) determinar Q quando P=0;
b) calcular a perda de excedente do consumidor se o pedágio for de R$ 5;
c) achar o novo Q com pedágio de R$7, comparar receitas em R$ 5 e R$ 7 e comentar a elasticidade;
d) calcular a perda de excedente do consumidor ao elevar o pedágio de R$5 para R$ 7.

Passo 2

Para o item (a) fazemos P=0 na demanda:
0 = 15 - \tfrac12 Q
Logo
\tfrac12 Q = 15 \quad\Longrightarrow\quad Q = 30.

Passo 3

Para o item (b) calculamos o excedente do consumidor sem pedágio e com pedágio de R$ 5.
Sem pedágio, a curva intercepta o eixo- P em 15 e o eixo- Q em 30, então
CS_0 = \tfrac12 \times 30 \times 15 = 225.
Com pedágio de R$ 5, a demanda é
5 = 15 - \tfrac12 Q_5 \quad\Longrightarrow\quad Q_5 = 20,
e o excedente passa a valer
CS_5 = \tfrac12 \times 20 \times (15 - 5) = \tfrac12 \times 20 \times 10 = 100.
A perda de excedente do consumidor é
225 - 100 = 125.

Passo 4

Para o item (c) com pedágio de R$ 7, temos
7 = 15 - \tfrac12 Q_7 \quad\Longrightarrow\quad Q_7 = 16.
A receita do pedágio é P\times Q, logo
R_5 = 5 \times 20 = 100, \qquad R_7 = 7 \times 16 = 112.
Como a receita aumentou de 100 para 112 ao elevar o preço, a demanda é inelástica nesse intervalo (pois aumento de preço elevou a receita).

Passo 5

Para o item (d) calculamos o excedente do consumidor a R$ 7:
CS_7 = \tfrac12 \times 16 \times (15 - 7) = \tfrac12 \times 16 \times 8 = 64.
Assim, a queda adicional de excedente ao subir de R$5 para R$ 7 é
CS_5 - CS_7 = 100 - 64 = 36.

Resposta

(a) Q = 30.
(b) Perda de excedente do consumidor = R$ 125.
(c) Q = 16; a receita sobe de R$100 para R$ 112; demanda inelástica.
(d) Perda de excedente adicional = R$ 36.

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