Suponha que você esteja escalando um morro cujo formato é dado pela equação
z=625-x^2-5 y^2
e você esteja em pé no ponto (10,5,400). Suponha, também, que o eixo X positivo aponta para o leste e o eixo Y positivo aponta para o norte.
Se você andar em direção ao Sul, você começará a subir ou descer do morro? Determine a taxa com que isso ocorre. Justique sua resposta.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Você está subindo em um morro cuja forma é dada pela equação $ z = 625 - x^{2} - 5y^{2} $. Você está no ponto z = 625 - x^2 - 5y^2 , onde o eixo (10, 5, 400) aponta para o leste e o eixo X para o norte. A pergunta é: se você andar em direção ao sul, você vai começar a subir ou descer o morro? E a que taxa isso acontece.
Para resolver, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente sobre derivadas direcionais, que nos dizem como a função $ z $ muda na direção que escolhemos mover.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção em que você está se movendo. Como o eixo Y aponta para o norte, movimentar-se para o sul significa diminuir o valor de $ Y $. Portanto, a direção do movimento é na direção negativa do eixo $ Y $, ou seja, na direção do vetor $ \mathbf{v} = (0, -1) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada direcional de $ z $ na direção em que você está se movendo. A derivada direcional nos diz a taxa de variação de $ z $ nessa direção. A fórmula para a derivada direcional é:
z
onde $ \nabla z $ é o gradiente de $ z $ e $ \mathbf{u} $ é o vetor unitário na direção do movimento.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente $ \nabla z $ da função $ z = 625 - x^{2} - 5y^{2} $. O gradiente é dado pelas derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
nabla z
No ponto z = 625 - x^2 - 5y^2 , temos:
z

Passo 5

Agora, vamos determinar o vetor unitário na direção do movimento. Como estamos nos movendo para o sul, nosso vetor de direção é $ \mathbf{v} = (0, -1) $. Esse vetor já tem comprimento 1, então ele é um vetor unitário:
v = (0, -1)

Passo 6

Com o gradiente e o vetor unitário, podemos calcular a derivada direcional:
Du z = nabla z cdot u = (-20, -50) cdot (0, -1) = (-20 times 0) + (-50 times -1) = 0 + 50 = 50

Passo 7

A derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} z = 50 $ indica que, na direção sul, a função $ z $ está aumentando a uma taxa de 50 unidades por unidade de deslocamento.

Resposta

Ao andar em direção ao sul, você começará a subir o morro, com uma taxa de subida de 50 unidades por unidade de deslocamento.

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